[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/db/mysqli.php on line 43: mysqli_connect() [function.mysqli-connect]: Headers and client library minor version mismatch. Headers:50545 Library:50636
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4284: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4286: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4287: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4288: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
 Arkusz P2
Biuro Konstrukcji Elektronicznych






teraz jesteś Matura
Rozwiązania zadań z informatora CKE
Arkusz P2
Rozwiązania zadań z informatora maturalnego CKE ARKUSZ P2
 
ZADANIA ZAMKNIĘTE
Zadanie 1.
Liczba 2^{20} \cdot 4^{40} jest równa ...
Rozwiązanie:
2^{20} \cdot 4^{40}=2^{20} \cdot (2^2)^{40}=2^{20} \cdot 2^{80}=2^{100}=\(2^2\)^{50}=4^{50}

odpowiedź   B
 
Zadanie 2.
Zbiór rozwiązań nierówności |x-3| \geq 1 jest przedstawiony na rysunku ...
Rozwiązanie:
Środkiem przedziału jest punkt a=3, natomiast odległości pomiędzy a, a końcami przedziału sa równe r=1.

Ponieważ nierówność, która opisuje dany przedział jest postaci |x-a| \geq r, to rozwiązaniem jest suma przedziałów zewnętrznych.

odpowiedź   A
 
Zadanie 3.
O zdarzeniach losowych A, B wiadomo, że: P(A) = 0,5 , P(B) = 0,3 i P(A \cup B) = 0,7 .
Prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń A i B spełnia warunek ...
Rozwiązanie:
Dane wystarczy podstawic do wzoru i wyznaczyc niewiadomą:

P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)
0,7=0,5+0,3-P(A \cap B)
P(A \cap B)=0,1

odpowiedź   C
Zadanie 4.
Wskaż liczbę, której 6% jest równe 6.
Rozwiązanie:
Układamy równanie 6% x=6, gdzie x jest szukaną liczbą.

6% x=6
0,06x=6
x=100

odpowiedź   D
Zadanie 5.
Różnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa 30^o . Kąt rozwarty tego równoległoboku jest równy ...
Rozwiązanie:
Suma miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa 180^o. Niech  \alpha oznacza miarę kąta rozwartego, wtedy:

\alpha +(\alpha-30^o)=180^o
2 \alpha = 210^o
\alpha=105^o

odpowiedź   A
Zadanie 6.
Na rysunku 1. jest przedstawiony wykres funkcji y=f(x).
Jakim wzorem jest określona funkcja przedstawiona na rysunku 2. ?
Rozwiązanie:
Wykres funkcji przedstawionej na rys.2. jest przesunięty o dwie jednostki w dół w stosunku do wykresu funkcji f(x).
Zatem y=f(x)-2.

odpowiedź   B
Zadanie 7.
Kąt \alpha jest ostry i \cos \alpha=\frac{3}{4}. Oblicz \sin \alpha.
Rozwiązanie:
Ze wzoru jedynkowego wiemy, że \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
Zatem:
sin^2 \alpha + (\frac{3}{4})^2 = 1
sin^2 \alpha = 1-\frac{9}{16}
sin^2 \alpha = \frac{7}{16}
sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}
ponieważ \alpha jest kątem ostrym, to  sin \alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}

odpowiedź  B
Zadanie 8.
Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział  \langle -2, +\infty).
Rozwiązanie:
Skoro ZW_f=\langle -2, +\infty), to parabola będąca wykresem funkcji f(x) ramiona ma skierowane w górę, czyli a \: > \: 0, oraz q=-2 dla wierzchołka W=(p,q).

Zatem f(x)=(x+1)^2-2

odpowiedź   D
Zadanie 9.
Ile jest równa liczba \log36 ?
Rozwiązanie:
A.   2 \log18\:=\:\log 18^2 \: \not{=} \: \log36
B.   \log40- 2 \log2 \: = \: \log40- \log2^2 \: = \: \log40- \log4 \: = \: \log \frac{40}{4} \: = \: \log10 \: \not{=} \: \log36
C.   2 \log 4-3 \log2 \: = \: \log4^2- \log2^3 \: = \: \log16- \log8 \: = \: \log \frac{16}{8} \: = \: \log2 \: \not{=} \: \log36
D.   2\log 6- \log1 \: = \: \log6^2- 0\: = \: \log36

odpowiedź   D
Zadanie 10.
Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których obie cyfry są parzyste?
Rozwiązanie:
Cyfrą jedności może byc jedna z cyfr: 0, 2, 4, 6, 8, czyli 5 możliwości.
Cyfrą dziesiątek może byc jedna z cyfr: 2, 4, 6, 8, czyli 4 możliwości.

Zatem liczb dwucyfrowych, w których obie cyfry są parzyste jest  20.

odpowiedź  B
Zadanie 11.
Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest półkolem o promieniu 12 cm. Podstawą tego stożka jest koło, o jakim promieniu ?
Rozwiązanie:
Skoro powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest półkolem, to długośc łuku tego półkoła jest równocześnie (po zwinięciu) obwodem koła będącego podstawą stożka.

Długośc łuku półkoła o promianiu 12 jest równa połowie obwodu koła o promianu 12, czyli:   \frac{1}{2} 2 \pi 12=12 \pi.
Natomiast obwód koła o promieniu r jest równy   2 \pi r.

Po przyrównaniu obu tych wielkości otrzymujemy:
12 \pi = 2 \pi r
r=6

odpowiedź   B
 
Zadanie 12.
Wyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione na diagramie.
Na jego podstawie oblicz medianę ocen uzyskanych przez uczniów.
Rozwiązanie:
Dane wypiszmy w postaci szeregu:   1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6.

Mediana jest to wartośc środkowa (w przypadku nieparzystej liczby danych) lub średnia arytmetyczna dwócz wartosci środkowych, gdy liczna danych jest parzysta.
Ponieważ liczba ocen jest równa 23, medianą będzie ocena leżąca na dwunastym miejscu.
Zatem mediana tych danych jest równa 5.

odpowiedź   B
 
Zadanie 13.
Prosta l ma równanie y=2x-11. Wskaż równanie prostej równoległej do l.
Rozwiązanie:
Proste są równoległe, gdy ich współczyniki kierunkowe są równe.
Ponieważ współczynnik kierunkowy prostej l jest równy a_l=2, to współczynnik kierunkowy prostej do niej równoległej też musi byc równy 2.

odpowiedź   A
 
Zadanie 14.
Ile jest równa liczba rozwiązań równania   \frac{x+3}{(5-x)(x+2)}=0 ?
Rozwiązanie:
Dane równanie jest równaniem wymiernym.
Ponieważ niewiadoma x występuje w mianowniku, wyznaczmy dziedzinę:  
D=\{x \in R: \:\:\: 5-x \not{=}0 \: i \: x+2 \not{=}0 \}
x \not{=}5 \:\:\:i \:\:\: x \not{=}-2
D=(-\infty, -2) \cup (-2, 5) \cup (5, +\infty)

Teraz możemy rozwiązac dane równanie:
\frac{x+3}{(5-x)(x+2)}=0

x+3=0
x=-3

Ponieważ rozwiązanie x=-3 należy do wyznaczonej dziedziny, zatem liczba rozwiązań tego równania jest równa 1.

odpowiedź   C
 
Zadanie 15.
Wskaż przedział, który jest zbiorem rozwiązań nierówności:   \frac{x}{4}+\frac{1}{6}\:<\:\frac{x}{3}.
Rozwiązanie:
D: \:x \in R

\frac{x}{4}+\frac{1}{6}\:<\:\frac{x}{3}\:| \cdot 12

3x+2\:<\:4x
-x\:<\:-2\:| \cdot(-1)
x\:>\:2
x \in (2, +\infty)

odpowiedź   D
 
Zadanie 16.
Jaką długość ma przekątna prostopadłościanu o wymiarach 3x4x5 ?
Rozwiązanie:
Przekątna prostopadłościanu, krawędź boczna oraz przekątna podstawy są bokami trójkąta prostokątnego. Zatem ich długości spełniają twierdzenie Pitagorasa.

Przekatną prostopadłościanu oznaczmy jako d,
krawędź boczna ma długość5,
długość przekątnej podstawy obliczamy z tw. Pitagorasa, jest ona równa \sqrt{3^2+4^2}.

Dalej mamy:

d^2=5^2+(\sqrt{3^2+4^2})^2
d^2=25+9+16
d^2=50

d=\sqrt{50}=\sqrt{25 \cdot 2}=5 \sqrt{2}
prostopadłościan 3x4x5
odpowiedź   C
 
Zadanie 17.
Dla jakiej wartości a liczba x=-7 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=(3-a)x+7 ?
Rozwiązanie:
Skoro liczba x=-7 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=(3-a)x+7, to punkt (-7, 0) spełnia równanie tej funkcji.

Podstawmy:
0=(3-a) \cdot (-7)+7
0=-21+7a+7
7a=14
a=2

odpowiedź   B
 
Zadanie 18.
Jaki jest zbiór rozwiązań nierówności x^2 \geq 9 ?
Rozwiązanie:
x^2 \geq 9

x^2-9 \geq 0
(x-3)(x+3) \geq 0
wyznaczamy pierwiastki: x_1=3, x_2=-3

x \in (-\infty, -3 \rangle \cup \langle 3, +\infty)
prybliżony wykres
odpowiedź   A
 
Zadanie 19.
Jaka jest miara kąta \alpha zaznaczonego na rysunku ?
Rozwiązanie:
Kąt wpisany o mierze 40^o jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy będący sumą kata \alpha i kąta o mierze 30^o.

Zatem (z tw. o kącie wpisanym i środkowym opartym na tym samym łuku) mamy:

\alpha+30^o=2 \cdot 40^o
\alpha=80^o-30^o
\alpha=50^o
rysunek
odpowiedź   A
 
Zadanie 20.
Która z liczb jest rozwiązaniem równania 2(x-1)+x=x-3(2-3x) ?
Rozwiązanie:

2(x-1)+x=x-3(2-3x)

2x-2+x=x-6+9x
3x-x-9x=-6+2
-7x=-4

x=\frac{4}{7}

odpowiedź   C
Zadanie 21.
Ile jest równa liczba 2^{40} \cdot 4^{20} ?
Rozwiązanie:

2^{40} \cdot 4^{20}=2^{2 \cdot 20} \cdot 4^{20}=(2^{2})^{20} \cdot 4^{20}=4^{20} \cdot 4^{20}=4^{20+20}=4^{40}

odpowiedź   A
Zadanie 22.
Wskaż liczbę, której 4% jest równe 8.
Rozwiązanie:

4% \cdot x=8

0,04 \cdot x=8 \: | \cdot 100
4x=800
x=200

odpowiedź   D
Zadanie 23.
Jaką miarę ma kąt \alpha, jeżeli jest kątem ostrym oraz [tex\cos \alpha=0,9[/tex] ?
Rozwiązanie:

\cos 45^o=\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,7

\cos 30^o=\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,85

Możemy zauważyc, że wraz ze zmniejszeniem się miary kąta \alpha wartości \cos \alpha wzrosły zbliżajac sie do danej wartości 0,9. Zatem \cos \alpha \: < \: 30^o

odpowiedź   A
Zadanie 24.
Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy 4, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy (−2) . Jaka jest wartośc pierwszego wyraz tego ciągu ?
Rozwiązanie:

(a_n) - ciąg geometryczny

a_3=4 \\ a_1 \cdot q^2=4,   a_4=-2 \\ a_1 \cdot q^3=-2

 \left\{\begin{array}{rcl}a_1 \cdot q^2=4 \\ a_1 \cdot q^3=-2\end{array}\right.

\left\{\begin{array}{rcl}a_1 =\frac{4}{q^2} \\ \frac{4}{q^2} \cdot q^3=-2\end{array}\right.

\left\{\begin{array}{rcl}a_1 =\frac{4}{q^2} \\ 4q=-2\end{array}\right.

\left\{\begin{array}{rcl}a_1 =\frac{4}{q^2} \\ q=-\frac{1}{2}\end{array}\right.

\left\{\begin{array}{rcl}a_1 =16 \\ q=-\frac{1}{2}\end{array}\right.

odpowiedź   A
Zadanie 25.
Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8} wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba p jest prawdopodobieństwem wylosowania liczby podzielnej przez 3. Ile jest równe p
Rozwiązanie:
Ponieważ wszystkich mozliwości jest 8, to |\Omega|=8
A - zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby podzielnej przez 3
A={3, 6},   |A|=2

p=P(A)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4} \: < \: 0,3

odpowiedź   A
ZADANIA OTWARTE
Zadanie 26.
Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem:   a_n=(-1)^n \cdot \frac{2-n}{n^2} \: , \: n \geq 1. Oblicz a_2, a_5.
Rozwiązanie:

a_2=(-1)^2 \cdot \frac{2-2}{2^2}=0

a_5=(-1)^5 \cdot \frac{2-5}{5^2}=(-1) \cdot \frac{-3}{25}= \frac{3}{25}
Zadanie 27.
Rozwiąż równanie:   x^3-12x^2+x-12=0.
Rozwiązanie:

x^3-12x^2+x-12=0

grupujemy wyrazy:
x^2(x-12)+(x-12)=0
(x-12)(x^2+1)=0

każdy z czynników przyrównujemy do zera:
x-12=0 \\ x=12   lub   x^2+1=0 \\ x \in \emptyset

Odpowiedź: x^3-12x^2+x-12=0, gdy x=12.
Zadanie 28.
Punkt E leży na ramianu BC trapezu ABCD, w którym AB || CD. Udowodnij, że
| \angle AED|=|\angle BAE|+|\angle CDE|.
Rozwiązanie:
 
Zadanie 29.
Podaj przykład liczb całkowitych dodatnich a, \: b, spełniających nierówność \frac{4}{9} \: < \: \frac{a}{b} \:< \: \frac{5}{9}.
Rozwiązanie:
Wystarczy rozszerzyc dane ułamki o dowolną liczbę całkowitą, np. 2

\frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} \: < \: \frac{a}{b} \:< \: \frac{5 \cdot 2}{9 \cdot 2}

\frac{8}{18} \: < \: \frac{a}{b} \:< \: \frac{10}{18}

Łatwo jest teraz dobrac takie wartości całkowite współczynników, aby spełniona była nierównośc

\frac{8}{18} \: < \: \frac{9}{18} \:< \: \frac{10}{18}

Odpowiedź: Liczby takie to np.: a=9, \: b=18.
 
Zadanie 30.
Dany jest prostokąt o bokach a i b oraz prostokąt o bokach c i d. Długość boku c to 90% długości boku a. Długość boku d to 120% długości boku b. Oblicz, ile procent pola prostokąta o bokach a i b stanowi pole prostokąta o bokach c i d.
Rozwiązanie:
Dane są dwa prostokąty:
prostokąt o bokach długości a, \: b
jego pole jest równe: P_1=a \cdot b
prostokąt o bokach długości c, \: d
jego pole jest równe: P_2=c \cdot d

gdziec=90%a=0,9a      d=120%b=1,2b

Zatem P_2=0,9a \cdot 1,2b=1,08 \cdot ab=108% ab
Odpowiedź:   Pole prostokąta o bokach c i d stanowi 108% pola prostokąta o bokach a i b.
 
Zadanie 31.
Dwa pociągi towarowe wyjechały z miast A i B oddalonych od siebie o 540 km. Pociąg jadący z miasta A do miasta B wyjechał o godzinę wcześniej niż pociąg jadący z miasta B do miasta A i jechał z prędkością o 9 km/h mniejszą. Pociągi te minęły się w połowie drogi. Oblicz, z jakimi prędkościami jechały te pociągi.
Rozwiązanie:

pociągi towarowe
pociąg z miasta A do miasta B:
jechał w czasie t+1 \: h, gdzie t \: > \: 0
z prędkością V-9 \: km/h, gdzie V \: > \: 0
przejechał połowę trasy, czyli 270 km
zatem ze wzoru na drogę mamy:
(t+1)(V-9)=270
pociąg z miasta B do miasta A:
jechał w czasie t \: h
z prędkością V \: km/h
przejechał połowę trasy, czyli 270 km
zatem:
t \cdot V=270

Wystarczy teraz rozwiązac układ równań:
 \left\{\begin{array}{rcl}t \cdot V&=&270\\(t+1)(V-9)&=&270\end{array}\right.

 \left\{\begin{array}{rcl}t &=&\frac{270}{V}\\(t+1)(V-9)&=&270\end{array}\right.

podstawmy:
(\frac{270}{V}+1)(V-9)=270

\frac{270}{V} \cdot V-9 \cdot \frac{270}{V}+V-9=270 \: | \cdot V

270V-2430+V^2-9V-270V=0

V^2-9V-2430=0

\Delta=81+4 \cdot 2430=9801\\ \sqrt{\Delta}=99
V=\frac{9-99}{2}\: < \: 0     V=\frac{9+99}{2}=54\\V-9=45

Odpowiedź: Pociagi jechały z prędkościami 45 km/h i 54 km/h.
 
Zadanie 32.
Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się 9 kul: 4 białe, 3 czarne i 2 zielone. W drugim pojemniku jest 6 kul: 2 białe , 3 czarne i 1 zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru.
Rozwiązanie:
dwa pojemniki
 
Zadanie 33.
Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 8. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 40° . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie:

Dane:
H=8
\alpha=40^o

Szukane:
V=\frac{1}{3} P_p \cdot H
P_p=a^2   a=?   (a\:<\:0)

Z trójkąta OBS mamy:  
tg \alpha = \frac{|OS|}{|OB|} \\ tg40^o=\frac{H}{|OB|}

Odcinek OB jest połową przekątnej kwadratu ABCD, zatem jego długośc jest równa: |OB|=\frac{a \sqrt{2}}{2}

Podstawmy:

tg40^o=\frac{8}{\frac{a \sqrt{2}}{2}}

tg40^o=8 \cdot \frac{2}{a \sqrt{2}}

tg40^o=\frac{16}{a \sqrt{2}} \:\: |\cdot a   a \not{=}0

atg40^o=\frac{16}{\sqrt{2}} \:\: | : tg40^o   tg40^o \not{=}0

a=\frac{16}{\sqrt{2} tg40^o}
 
ostrosłup
Podstawmy do wzoru na objętośc:

V=\frac{1}{3} \cdot (\frac{16}{\sqrt{2}tg40^o})^2 \cdot 8=\frac{256 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot tg^2 40^o}=\frac{2048}{6tg^2 40^o}=\frac{1024}{3tg^2 40^o}
 

cron