[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/db/mysqli.php on line 43: mysqli_connect() [function.mysqli-connect]: Headers and client library minor version mismatch. Headers:50545 Library:50636
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4284: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4286: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4287: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4288: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
 Nierówności wielomianowe
Biuro Konstrukcji Elektronicznych






teraz jesteś Wykłady
Wielomiany
Nierówności wielomianowe

Nierówności wielomianowe

DEFINICJA Nierównością wielomianową (algebraiczną) stopnia n nazywamy każdą z nierówności postaci
W(x) \: > \: 0, W(x) \: < \: 0, W(x) \: \geq \: 0, W(x) \: \leq \: 0,
gdzie W(x) jest wielomianem stopnia n.
ROZWIĄZYWANIE NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWYCH
Rozwiązać nierówność wielomianową typu:
  • W(x)\:>\:0
    oznacza wyznaczyć te zbiory argumentów x, dla których wartości wielomianu W są większe od zera
  • W(x)\:<\:0
    oznacza wyznaczyć te zbiory argumentów x, dla których wartości wielomianu W są mniejsze od zera
  • W(x)\:\geq\:0
    oznacza wyznaczyć te zbiory argumentów x, dla których wartości wielomianu W są nie mniejsze od zera, czyli większe lub równe
  • W(x)\:\leq\:0
    oznacza wyznaczyć te zbiory argumentów x, dla których wartości wielomianu W są nie większe od zera, czyli mniejsze lub równe.

Do pewnego stopnia szukanie rozwiązań nierówności wielomianowych jest takie samo jak rozwiązywanie równań. Jednak ponieważ znak iloczynu zależy od znaku poszczególnych czynników, po rozłożeniu wielomianu na czynniki musimy ocenić znak każdego z nich w poszczególnych przedziałach. W tym celu wyznaczamy pierwiastki wielomianu i tworzymy przy ich pomocy przedziały, w których badać będziemy znaki.
Aby rozwiązać nierówność wielomianową np. W(x)\:>\:0 postępujemy według poniższego schematu:
  1. Wielomian W(x) rozkładamy na czynniki jak najniższego stopnia.
  2. Korzystając z własności iloczynu, przyrównujemy każdy z czynników do zera, w celu wyznaczenia miejsc zerowych (pierwiastków) wielomianu W.
  3. Tworzymy siatkę znaków lub szkicujemy przybliżony wykres.
  4. Odczytujemy rozwiązanie, czyli wybieramy te przedziały, w których wartości są większe od zera.

PRZYKŁAD 1: Przy pomocy siatki znaków rozwiążmy nierówność x^3-x^2 \: \geq \: x^2-x
ROZWIĄZANIE: Postępujemy wg schematu
KROK I Przekształcamy nierówność do postaci z definicji:
x^3-x^2 \: \geq \: x^2-x
x^3-x^2-x^2+x \: \geq \: 0
KROK II Wielomian stojący po lewej stronie nierówności rozkładamy na czynniki jak najniższego stopnia stosując poznane metody:
x^2(x-1)-x(x-1) \: \geq \: 0
(x-1)(x^2-x)\: \geq \:0
(x-1)\cdot x \cdot (x-1)\: \geq \:0
x(x-1)^2\: \geq \:0
KROK III Każdy z czynników przyrównujemy do zera:
x_1\:=\:0 \:\: \vee \:\: (x-1)^2\:=\:0
                        x-1\:=\:0
                       x_{2,3}=1 pierwiastek 2-krotny
KROK IV Wyznaczamy przedziały, w których sprawdzać będziemy znaki poszczególnych czynników wielomianu
(-\infty;\:0),\:(0;\:1),\:(1;\:+\infty)
KROK V Tworzymy siatkę znaków w komórkach wpisując znaki przyjmowane przez poszczególne czynniki w odpowiednich przedziałach liczbowych

 (-\infty;\:0)0 (0;\:1)1(1;\:+\infty)
x-0 +++
(x-1)^2++ +0+

Wystarczy teraz utworzyć kolejny wiersz, w którym umieścimy znak będący iloczynem wszystkich znaków w każdym z przedziałów.

 (-\infty;\:0)0 (0;\:1)1(1;\:+\infty)
x-0 +++
(x-1)^2++ +0+
x \cdot (x-1)^2-0 + 0 +
KROK VI Odczytujemy przedziały, w których wielomian x \cdot (x-1)^2 jest większy lub równy zero:

 (-\infty;\:0)0 (0;\:1) 1 (1;\:+\infty)
x-0 +++
(x-1)^2++ +0+
x \cdot (x-1)^2-{\color{red} 0} {\color{red} +} {\color{red} 0} {\color{red} +}


Zatem x(x-1)^2 \: \geq \: 0 \:\: \Leftrightarrow \:\: x \in \langle 0;\:+\infty),
czyli x^3-x^2 \: \geq \: x^2-x \:\: \Leftrightarrow \:\: x \in \langle 0;\:+\infty).
Metodą częściej stosowaną przy rozwiązywaniu nierówności wielomianowych jest metoda graficzna. Stosowaliśmy już ją przy nierównościach kwadratowych. Polega ona na naszkicowaniu wykresu na podstawie miejsc zerowych funkcji oraz znaku przy najwyższej potędze x. Ponieważ nie jest to wykres dokładny, ale tylko szkic uwzględniający potrzebne nam informacje nazywamy go przybliżonym wykresem. Przy jego sporządzaniu należy kierować się poniższymi zasadami:
ZASADY POZWALAJĄCE SPORZĄDZIĆ PRZYBLIŻONY WYKRES:
  1. Rysujemy oś OX.
  2. Zaznaczamy miejsca zerowe (pierwiastki) rozpatrywanego wielomianu
    • punktem zamkniętym - jeżeli nierówność jest nieostra (tzn.\geq lub \leq)
    • punktem otwartym - jeżeli nierówność jest ostra (tzn.> lub <).
  3. Rysowanie przybliżonego wykresu zaczynamy zawsze z prawej strony
    • nad osią gdy znak współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej x jest dodatni
    • pod osią gdy znak współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej x jest ujemny
  4. Miejsca, w których są pierwiastki o nieparzystej krotności przecinamy, natomiast w pierwiastkach o parzystej krotności wykres się odbija.
  5. Zaznaczamy te zbiory liczb, w których spełniona jest interesująca nas nierówność oraz zapisujemy rozwiązanie.
PRZYKŁAD 2: Rozwiążemy tę samą nierówność x^3-x^2 \: \geq \: x^2-x metodą graficzną, czyli przy pomocy przybliżonego wykresu
ROZWIĄZANIE: Postępujemy wg schematu
KROK I Przekształcamy nierówność do postaci z definicji:
x^3-x^2 \: \geq \: x^2-x
x^3-x^2-x^2+x \: \geq \: 0
KROK II Wielomian stojący po lewej stronie nierówności rozłożymy na czynniki, tym razem stosując inne przekształcenia niż w PRZYKŁADZIE 1:
x^3-x^2-x^2+x \: \geq \: 0
x^3-2x^2+x \: \geq \: 0
x(x^2-2x+1)\: \geq \:0
x(x-1)^2\: \geq \:0
KROK III Każdy z czynników przyrównujemy do zera:
x_1\:=\:0 \:\: \vee \:\: (x-1)^2\:=\:0
                        x-1\:=\:0
                       x_{2,3}=1 pierwiastek 2-krotny
KROK IV Szkicujemy przybliżony wykres i odczytujemy rozwiązanie:

Przybliżony wykres

  Zatem x(x-1)^2 \: \geq \: 0 \:\: \Leftrightarrow \:\: x \in \langle 0;\:+\infty),
czyli x^3-x^2 \: \geq \: x^2-x \:\: \Leftrightarrow \:\: x \in \langle 0;\:+\infty).
cron