[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/db/mysqli.php on line 43: mysqli_connect() [function.mysqli-connect]: Headers and client library minor version mismatch. Headers:50545 Library:50636
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4284: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4286: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4287: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4288: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
 Równania wielomianowe
Biuro Konstrukcji Elektronicznych






teraz jesteś Wykłady
Wielomiany
Równania wielomianowe
Równania wielomianowe

 
DEFINICJARównaniem wielomianowym (algebraicznym) stopnia n nazywamy równanie postaci W(x)=0, gdzie W(x) jest wielomianem stopnia n.
Rozwiązania równania W(x)=0 nazywamy pierwiastkami tego równania, a także pierwiastkami wielomianu W.
Trochę historiiZnane nam są wzory na pierwiastki równań pierwszego i drugiego stopnia. Czy istnieją takie dla równań wyższych stopni ?
Tak, odkryto je dla równań trzeciego i czwartego stopnia. Po raz pierwszy zostały one opublikowane w roku 1545 przez Girolamo Cardano i chociaż nie był on ich odkrywcą znane są dzisiaj jako wzory Cardana. Na kolejny krok w tej dziedzinie trzeba było czekać prawie 300 lat. W 1824 roku 22-letni norweski matematyk Niels Henrik Abel wykazał, że nie istnieją ogólne wzory na pierwiastki równań stopni wyższych niż czwarty.
ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ WIELOMIANOWYCH
Rozwiązać równanie wielomianowe to znaczy znaleźć wszystkie pierwiastki tego równania lub pokazać, że takie nie istnieją.
Aby rozwiązać równanie wielomianowe postępujemy według poniższego schematu:
  1. Przekształcamy równanie do postaci wg definicji, czyli W(x)=0.
  2. Wielomian W(x) rozkładamy na czynniki jak najniższego stopnia.
  3. Korzystając z własności iloczynu, przyrównujemy każdy z czynników do zera.
  4. Otrzymane rozwiązania są pierwiastkami równania wyjściowego, zatem zapisujemy odpowiedź.
PRZYKŁAD:Rozwiążemy równanie   2x^5+3x^4\:=\:2x+3
ROZWIĄZANIE:Postępujemy wg schematu
KROK IPrzekształcamy równanie do postaci z definicji:
2x^5+3x^4\:=\:2x+3
2x^5+3x^4-2x-3\:=\:0
KROK IIWielomian znajdujący się po lewej stronie równania rozkładamy na czynniki, stosujemy poznane metody (zobacz: Rozkład wielomianu na czynniki).
Tu metoda grupowania wyrazów:

2x^5+3x^4-2x-3\:=\:0
x^4(2x+3)-(2x+3)\:=\:0
(2x+3)(x^4-1)\:=\:0
(2x+3)(x^2+1)(x^2-1)\:=\:0
(2x+3)(x^2+1)(x-1)(x+1)\:=\:0
KROK IIIKorzystamy z własności iloczynu: Iloczyn jest równy zero tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero.
(2x+3)(x^2+1)(x-1)(x+1)\:=\:0
2x+3=0 \:\: \vee \:\: x^2+1=0 \:\: \vee \:\: x-1=0 \:\: \vee \:\: x+1=0
x=-\frac{3}{2}       równanie sprzeczne      x=1        x=-1
KROK IVZapisujemy odpowiedź:     2x^5+3x^4\:=\:2x+3 \:\: \Leftrightarrow \:\: x \in \{-\frac{3}{2}\:,\:-1,\:1\}

cron