[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/db/mysqli.php on line 43: mysqli_connect() [function.mysqli-connect]: Headers and client library minor version mismatch. Headers:50545 Library:50636
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4284: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4286: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4287: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4288: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
 Pierwiastek wielomianu
Biuro Konstrukcji Elektronicznych






teraz jesteś Wykłady
Wielomiany
Pierwiastek wielomianu
Pierwiastek wielomianu

 
Wielomian W(x) według definicji jest funkcją, dlatego pierwiastkiem wielomianu nazywamy jego miejsce zerowe.
Liczba x_0 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy W(x_0)=0.
PRZYKŁAD:Dany jest wielomian W(x)=x^5-4x^3+2x^2+3x-2.
Sprawdzimy, która z liczb należących do zbioru P= \{-2,\:-1,\:0,\: \frac{1}{2}\: ,\: \sqrt{2}\} jest pierwiastkiem wielomianu W(x).
ROZWIĄZANIE:W(-2)=(-2)^5-4(-2)^3+2(-2)^2+3(-2)-2
W(-2)=-32-4(-8)+2 \cdot 4 -6-2
W(-2)=-32+32+8-8

W(-2)=0
Liczba x_0=-2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)
 
 W(-1)=(-1)^5-4(-1)^3+2(-1)^2+3(-1)-2
W(-1)=-1-4(-1)+2 \cdot 1 -3-2
W(-1)=-1+4+2-5

W(-1)=0
Liczba x_0=-1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)
 
 W(0)=0^5-4 \cdot 0^3+2 \cdot 0^2+3 \cdot 0-2
W(0)=-2\: \not{=} 0
 W \(\frac{1}{2} \)=\(\frac{1}{2} \)^5-4 \(\frac{1}{2} \)^3+2 \(\frac{1}{2} \)^2+3 \(\frac{1}{2}\)-2
W \(\frac{1}{2} \)=\frac{1}{32}-4 \cdot \frac{1}{8}+2 \cdot \frac{1}{4} +\frac{3}{2}-2
W \(\frac{1}{2} \)= \frac{1}{32}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-2
W \(\frac{1}{2} \)= -\frac{15}{32} \: \not{=} 0
 W(\sqrt{2})=(\sqrt{2})^5-4(\sqrt{2})^3+2(\sqrt{2})^2+3 \sqrt{2}-2
W(\sqrt{2})=4\sqrt{2}-4 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}+2 \cdot 2 +3 \sqrt{2}-2
W(\sqrt{2})=4\sqrt{2}-8 \sqrt{2}+3 \sqrt{2}+4 -2
W(\sqrt{2})=2- \sqrt{2}\: \not{=} 0
Sprawdzać, czy liczba jest pierwiastkiem wielomianu już umiemy. Teraz problem polega na znalezieniu zbioru potencjalnych pierwiastków, przy czym chcielibyśmy znaleźć wszystkie pierwiastki danego wielomianu. O tym ile może ich być, mówi nam poniższe twierdzenie:
TWIERDZENIEWielomian jednej zmiennej stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków.
W poszukiwaniu pierwiastków szczególnie ważne jest twierdzenie mówiące o związku pierwiastka wielomianu z podzielnością przez pewien dwumian. Pozwala ono wykorzystać znaleziony pierwiastek do obniżenia stopnia danego wielomianu oraz łączy pierwiastki wielomianu z jego rozkładem na czynniki.
TWIERDZENIE BèzoutLiczba x_0 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-x_0.
PRZYKŁAD 1:Wiedząc, że x_0=-1 jest jednym z pierwiastków wielomianu V(x)=2x^3+4x^2-22x-24, znajdź pozostałe pierwiastki i zapisz wielomian w postaci rozkładu na czynniki.
ROZWIĄZANIE:Na mocy twierdzenia Bèzout wielomian V(x) jest podzielny przez dwumian (x-(-1))=(x+1). Wykonajmy dzielenie:
\begin{tabular}{rcccccccl}&2x^2&+&2x&-&24&&& \\ \hline (&2x^3&+&4x^2&-&22x&-&24&)\: : \: (x+1) \\ -&2x^3&-&2x^2&&&&&\\ \hline &=&&2x^2&-&22x&-&24&\\ &&-&2x^2&-&2x&&&\\ \hline &&&&-&24x&-&24& \\ &&&&&24x&+&24& \\ \hline &&&&&=&&=& \end{tabular}
 
 Zatem wielomian V można zapisać w postaci: V(x)=(x+1)(2x^2+2x-24)
Aby znaleźć pozostałe pierwiastki wielomianu V wystarczy, że wyznaczymy pierwiastki wielomianu P(x)=2x^2+2x-24.
Ponieważ jest to trójmian kwadratowy możemy skorzystać ze wzorów na wyróżnik oraz postać iloczynową funkcji kwadratowej.
\Delta=196 \:\: \Rightarrow \:\: x_1=-4,\: x_2=3 \:\: \Rightarrow \:\: P(x)=2(x+4)(x-3)
Zatem V(x)\:=\:2(x+1)(x+4)(x-3), natomiast jego pozostałymi pierwiastkami poza x_0=-1 są liczby x_1=-4,\: x_2=3.
Zauważmy, że z wielomianu V(x), z powyższego PRZYKŁADU, w postaci rozkładu na czynniki łatwo można odczytać pierwiastki.
Skoro V(x)\:=\:2(x+1)(x+4)(x-3), to:
  • jest on podzielny przez dwumian x+1, zatem na mocy twierdzenia Bèzout liczba x=-1 jest pierwiastkiem tego wielomianu
  • jest on podzielny przez dwumian x+4, zatem na mocy twierdzenia Bèzout liczba x=-4 jest pierwiastkiem tego wielomianu
  • jest on podzielny przez dwumian x-3, zatem na mocy twierdzenia Bèzout liczba x=3 jest pierwiastkiem tego wielomianu
Spostrzeżenie to jest tym bardziej ciekawe, że daje nam metodę poszukiwania pierwiastków dowolnego wielomianu, mianowicie wystarczy przedstawić go w postaci rozkładu na czynniki lub mówiąc prościej - w postaci iloczynowej.
Zobacz rozkład wielomianu na czynniki
PRZYKŁAD 2:Wiedząc, że x_0=-2 jest jednym z pierwiastków wielomianu R(x)=x^4+3x^3-2x^2-12x-8, znajdź pozostałe pierwiastki i zapisz wielomian w postaci rozkładu na czynniki.
ROZWIĄZANIE:Na mocy twierdzenia Bèzout wielomian R(x) jest podzielny przez dwumian (x-(-2))=(x+2). Zatem wykonajmy dzielenie:
\begin{tabular}{rcccccccl}&x^3&+&x^2&-&4x&-&4&&& \\ \hline (&x^4&+&3x^3&-&2x^2&-&12x&-&8&)\: : \: (x+2) \\ -&x^4&-&2x^3&&&&&&&\\ \hline &=&&x^3&-&2x^2&-&12x&-&8&\\ &&-&x^3&-&2x^2&&&&&\\ \hline &&&=&-&4x^2&-&12x&-&8& \\ &&&&&4x^2&+&8x&&& \\ \hline &&&&&=&-&4x&-&8& \\ &&&&&&&4x&+&8& \\ \hline &&&&&&&=&&=&\end{tabular}
 
 R(x)=(x+2)(x^3+x^2-4x-4)
Szukamy teraz pierwiastków wielomianu P(x)=x^3+x^2-4x-4
Patrząc na współczynniki wielomianu P(x), można zauważyć, że pomocna jest metoda grupowania wyrazów.

P(x)\:=\: \underline{x^3+x^2}\: \underline{-4x-4}
P(x)\:=\: \underline{x^2 \cdot x+x^2 \cdot 1}\: \underline{-4 \cdot x-4 \cdot 1}
P(x)\:=\: \underline{x^2(x+1)}\: \underline{-4(x+1)}
P(x)\:=\: x^2 \underline{ \underline{(x+1)}}\:-\:4 \underline{\underline{(x+1)}}
P(x)\:=\:(x+1)\(x^2-4\)
Rozkładając dalej ze wzorów skróconego mnożenia mamy:
P(x)\:=\:(x+1)(x-2)(x+2)
Zatem ostatecznie R(x)\:=\:(x+2)(x+1)(x-2)(x+2).
Co można zapisać R(x)\:=\:(x+2)^2(x+1)(x-2).
Pozostałymi pierwiastkami wielomianu R(x)x=-2 (dwa razy),  x=-1,\:x=2.
W powyższym PRZYKŁADZIE pierwiastek x=-2 w rozkładzie wielomianu pojawił się dwa razy. Czy informacja ta ma znaczenie? Czy krotność pierwiastka, czyli liczba jego wystąpień jest ważna?

Oczywiście, że TAK.
Wielomian R_1(x)\:=\:(x+2)^2(x+1)(x-2) i wielomian R_2(x)\:=\:(x+2)(x+1)(x-2), to zupełnie inne wielomiany.
R_1(x)\:=\:(x+2)^2(x+1)(x-2)=x^4+3x^3-2x^2-12x-8
R_2(x)\:=\:(x+2)(x+1)(x-2)=x^3+x^2-4x-4.
R_1 \not{=} R_2
DEFINICJALiczbę a nazywamy k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W(x), gdy ten wielomian jest podzielny przez (x-a)^k i nie jest podzielny przez wyrażenie (x-a)^{k+1}.
Definicja w sposób formalny mówi nam o tym, że jeżeli np. wielomian R(x) ma pierwiastek dwukrotny x=-2, to w rozkładzie czynnik x+2 pojawi sie tylko dwa razy, a nie trzy.
PRZYKŁAD:Wykażemy, że liczba x=3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu Q(x)=x^4-5x^3+4x^2+3x+9.
ROZWIĄZANIE:Będziemy postępować zgodnie z definicją pierwiastka wielokrotnego. Udowodnimy, że dwumian x-3 występuje dokładnie dwa razy w rozkładzie wielomianu Q(x) na czynniki.
KROK ISkoro liczba x=3 jest pierwiastkiem co najmniej dwukrotnym, to na podstawie definicji wielomian Q(x) jest podzielny przez wyrażenie (x-3)^2.
Ponieważ (x-3)^2=x^2-6x+9, wykonajmy dzielenie:
\begin{tabular}{rcccccccl}&x^2&+&x&+&1&&&&& \\ \hline (&x^4&-&5x^3&+&4x^2&+&3x&+&9&)\: : \: (x^2-6x+9) \\ -&x^4&+&6x^3&-&9x^2&&&&&\\ \hline &=&&x^3&-&5x^2&+&3x&+&9&\\ &&-&x^3&+&6x^2&-&9x&&&\\ \hline &&&=&&x^2&-&6x&+&9& \\ &&&&-&x^2&+&6x&-&9& \\ \hline &&&&&=&&=&&=&\end{tabular}
 
 Q(x)=(x^2-6x+9)(x^2+x+1)
Q(x)=(x-3)^2(x^2+x+1)
KROK IIPozostało jeszcze wykazać, że liczba x=3 nie pojawi się trzeci raz w rozkładzie. Możemy to zrobić na jeden z dwóch sposobów. Albo sprawdzić, czy pierwiastki trójmianu x^2+x+1 są różne od liczby x=3, albo wykazać, że ten trójmian nie dzieli się przez x-3.
SPOSÓB I
Wyznaczmy pierwiastki trójmianu P(x)=x^2+x+1
\Delta\:=\:1-4 \cdot 1 \cdot 1\:=\:-3 \:<\: 0
Trójmian P(x) nie ma pierwiastków rzeczywistych, zatem dwukrotny pierwiastem x=3 jest jedynym pierwiastkiem wielomianu Q.
SPOSÓB II
Wykonajmy dzielenie:
\begin{tabular}{rcccccccl}&&&x&+&4& \\ \hline (&x^2&+&x&+&1&)\: : \: (x-3) \\ &-x^2&+&3x&&&\\ \hline &=&&4x&+&1&\\ &&-&4x&+&12&\\ \hline &&&=&&13& \end{tabular}
Reszta jest równa 13, zatem wielomian P(x)=x^2+x+1 nie jest podzielny przez dwumian x-3, czyli liczba x=3 nie jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu Q.

cron