[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/db/mysqli.php on line 43: mysqli_connect() [function.mysqli-connect]: Headers and client library minor version mismatch. Headers:50545 Library:50636
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4284: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4286: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4287: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4288: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
 Twierdzenie o wymiernych pierwiastkach
Biuro Konstrukcji Elektronicznych






teraz jesteś Wykłady
Wielomiany
Twierdzenie o wymiernych pierwiastkach
Wielomiany

 
TWIERDZENIEO WYMIERNYCH PIERWIASTKACH WIELOMIANU O WSPÓŁCZYNNIKACH CAŁKOWITYCH

Jeżeli wielomian W(x)\:=\: a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ ... +a_2x^2+a_1x+a_0 posiada wszystkie współczynniki całkowite przy czym a_n \not{=}0 i a_0 \not{=}0 oraz ma on pierwiastek wymierny zapisany w postaci ułamka nieskracalnego \frac{p}{q}, to

p jest dzielnikiem wyrazu a_0, natomiast q jest dzielnikiem a_n.
Twierdzenie choć daje przepis na szukanie pierwiastków (co prawda tylko dla wielomianów o współczynnikach całkowitych), to jest to sposób dość pracochłonny i nie ma w nim ani słowa o pierwiastkach niewymiernych. Może się zatem okazać, że w pocie czoła znalezione przez nas pierwiastki nie są wszystkimi.
Dlatego też powyższą metodę wykorzystuje się tylko wtedy, gdy zawiodą wszystkie inne sposoby szukania pierwiastków, czy też rozkładu na czynniki. Poza tym stosujemy ją możliwie najmniejszą ilość razy. Najczęściej pomaga nam znaleźć pierwszy pierwiastek, a następnie obniżamy stopień wielomianu korzystając z twierdzenia Bèzout. Po co? Po to, aby nowy wielomian był o stopień niższy i przy tym łatwiejszy do analizy.
PRZYKŁAD:Znajdziemy pierwiastki wielomianu Q(x)=3x^3+x^2-9x+2 oraz zapiszemy go w postaci rozkładu na czynniki.
 
ROZWIĄZANIE:Współczynniki wielomianu Q to: a_3=3,\: a_2=1,\:a_1=-9,\:a_0=2
Wszystkie są liczbami całkowitymi oraz a_3 \not{=}0, \: a_0 \not{=}0. Możemy zatem zastosować powyższe twierdzenie.
KROK IJeżeli wielomian Q posiada pierwiastki wymierne, to są one postaci \frac{p}{q}, gdzie
p jest dzielnikiem wyrazu a_0=2 \:\:\: \Rightarrow \:\:\:p \in \{-1,\:1,\:-2,\:2\}
q jest dzielnikiem wyrazu a_3=3 \:\:\: \Rightarrow \:\:\:q \in \{-1,\:1,\:-3,\:3\}

Stąd: \frac{p}{q} \in \{-1,\:1,\:-2,\:2,\:-\frac{1}{3}\:,\:\frac{1}{3}\:,\:-\frac{2}{3}\:,\:\frac{2}{3}\}
KROK IISpośród liczb powyższego zbioru poszukajmy pierwiastka wielomianu Q(x)
Q(-1)=3(-1)^3+(-1)^2-9(-1)+2=-3+1+9+2=9 \: \not{=}\: 0
Q(1)=3 \cdot 1^3+1^2-9 \cdot 1+2=3+1-9+2=-3 \: \not{=}\:0
Q(-2)=3(-2)^3+(-2)^2-9(-2)+2=-24+4+18+2\:=\:0
x_0=-2 jest pierwiastkiem wielomianu Q(x)
KROK IIINa mocy twierdzenia Bèzout wielomian jest podzielny przez dwumian x+2.
Wykonajmy dzielenie:


\begin{tabular}{rcccccccl}&3x^2&-&5x&+&1&&& \\ \hline (&3x^3&+&x^2&-&9x&+&2&)\: : \: (x+2) \\ -&3x^3&-&6x^2&&&&&\\ \hline &=&&-5x^2&-&9x&+&2&\\ && &5x^2&+&10x&&&\\ \hline &&&=&&x&+&2& \\ &&&&&-x&-&2& \\ \hline &&&&&=&&=&\end{tabular}
 
Q(x)=(x+2)(3x^2-5x+1)
KROK IVSzukamy teraz pierwiastków wielomianu P(x)=3x^2-5x+1
Ponieważ \Delta=13 \:\: \Rightarrow \:\: x_1=\frac{5- \sqrt{13}}{6},\: x_2=\frac{5+ \sqrt{13}}{6} \:\: \Rightarrow \:\: P(x)=3(x-\frac{5- \sqrt{13}}{6})(x-\frac{5+ \sqrt{13}}{6}).
Zatem pierwiastkami wielomianu Q(x) są liczby x_0=-2,\: x_1=\frac{5- \sqrt{13}}{6},\: x_2=\frac{5+ \sqrt{13}}{6}.
Wielomian po rozkładzie na czynniki ma postać Q(x)\:=\:3(x+2)(x-\frac{5- \sqrt{13}}{6})(x-\frac{5+ \sqrt{13}}{6})
cron