[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/db/mysqli.php on line 43: mysqli_connect() [function.mysqli-connect]: Headers and client library minor version mismatch. Headers:50545 Library:50636
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4284: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4286: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4287: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4288: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
 Rozkład wielomianu na czynniki
Biuro Konstrukcji Elektronicznych






teraz jesteś Wykłady
Wielomiany
Rozkład wielomianu na czynniki
Wielomiany

 
Zapisanie wielomianu w postaci iloczynowej, to jest właśnie rozkład na czynniki.
Mając zapisany wielomian W(x) w postaci iloczynowej łatwo odczytać z niej pierwiastki, czyli miejsca zerowe tej funkcji. To z kolei będzie elementem niezbędnym do rozwiązania równania lub nierówności wielomianowej.
PRZYKŁADNiech dany będzie wielomian W(x)=2x^2-2x-4
Wtedy W(x)\:=\:2x^2-2x-4\:=\:2(x+1)(x-2)
Ponieważ wielomian W jest trójmianem kwadratowym, sposób rozłożenia na czynniki jest nam znany.
Nie pamiętasz?Powtórz: Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
Jednak przy wielomianach wyższych stopni sytuacja nie jest już taka prosta.
PRZYKŁADNiech dany będzie wielomian V(x)=x^3+2x^2-9x-18
Wtedy V(x)=(x+2)(x+3)(x-3)
Do przedstawienia w postaci iloczynowej wielomianu stopnia większego niż dwa, służą określone metody, najważniejsze z nich to:
WYŁĄCZANIE WSPÓLNEGO CZYNNIKA PRZED NAWIAS
PRZYKŁADNiech dany będzie wielomian P(x)=x^4+x^3
Wtedy P(x)\:=\: \underline{x^3}\cdot x\:+\: \underline{x^3} \cdot 1
P(x)\:=\:x^3(x+1)
Ponieważ wspólnym czynnikiem we wszystkich jednomianach tworzący wielomian P był x^3, można wyłączyć go przed nawias otrzymując w ten sposób rozkład danego wielomianu na czynniki.
GRUPOWANIE WYRAZÓW
PRZYKŁADNiech dany będzie wielomian Q(x)=x^3+2x^2+2x+4
Wtedy Q(x)\:=\: \underline{x^3+2x^2}\:+\: \underline{2x+4}
Q(x)\:=\: \underline{x^2 \cdot x+x^2 \cdot 2}\:+\: \underline{2 \cdot x+2 \cdot 2}
Q(x)\:=\: \underline{x^2(x+2)}\:+\: \underline{2(x+2)}
Q(x)\:=\: x^2 \underline{ \underline{(x+2)}}\:+\:2 \underline{\underline{(x+2)}}
Q(x)\:=\:(x+2)\(x^2+2\)
Metoda polega na podzieleniu wyrazów na grupy (najczęściej są to pary), tak aby po wyłączeniu wspólnego czynnika w danej grupie otrzymać w nawiasie te same wyrażenia we wszystkich grupach. Ta sytuacja pozwala nam dokonać ponownego wyłączenia wspólnego czynnika przed nawias, co doprowadza nas do postaci iloczynowej danego wielomianu.
Przeanalizujmy jeszcze jeden przykład przy tej metodzie:
PRZYKŁADNiech dany będzie wielomian V(x)=x^3+2x^2-9x-18, wtedy:
V(x)\:=\: \underline{x^3+2x^2} \: \underline{-9x-18}grupujemy wyrazy
V(x)\:=\: \underline{x^2 \cdot x+x^2 \cdot 2} \: \underline{-9 \cdot x-9 \cdot 2}szukamy w grupach wspólnych czynników
V(x)\:=\: \underline{x^2( x+2)} \: \underline{-9(x+2)}wyłączamy w każdej grupie wspólny czynnik przed nawias
V(x)\:=\: x^2 \underline{\underline{( x+2)}} -9 \underline{\underline{(x+2)}}w nawiasach otrzymaliśmy takie same wyrażenia
V(x)\:=\: ( x+2)\(x^2-9\)wyłączamy wspólny czynnik przed nawias otrzymując postać iloczynową
V(x)\:=\: ( x+2)(x-3)(x+3)ponieważ dwumian x^2-9 jest funkcją kwadratową o wyróżniku większym od zera można dokonać dalszego rozkładu (lub zastosować wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów).
WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA
W tych przykładach przyda się spostrzegawczość i oczywiście znajomość wzorów skróconego mnożenia. Metoda polega na zauważeniu w postaci wielomianu rozwiniętego wzoru skróconego mnożenia i zwinięcia go tak, aby wielomian przekształcić do postaci iloczynowej.
PRZYKŁADNiech dany będzie wielomian R_1(x)=4x^2-9
Wtedy R_1(x)\:=\:(2x)^2-3^2
R_1(x)\:=\:(2x-3)(2x+3)
PRZYKŁADNiech dany będzie wielomian R_2(x)=4x^2-4x+1
Wtedy R_2(x)\:=\:(2x)^2-2 \cdot 2x \cdot 1+1^2
R_2(x)\:=\:(2x-1)^2
PRZYKŁADNiech dany będzie wielomian R_3(x)=8x^3+1
Wtedy R_3(x)\:=\:(2x)^3+1^3
R_3(x)\:=\:(2x+1)\((2x)^2-2x \cdot 1+1^2\)
R_3(x)\:=\:(2x+1)(4x^2-2x+1)

 
a=4,\:b=-2,\:c=1
\Delta=(-2)^2-4 \cdot 4 \cdot 1=-12 \:<\:0 \:\:\: \Rightarrow \:\:\: brak pierwiastków
R_3(x)\:=\:(2x+1)(4x^2-2x+1)
Rozkład danego wielomianu należy tak długo wykonywać, aż w każdym z czynników otrzymamy wielomian stopnia zerowego, pierwszego lub drugiego. Przy tym ostatnim zawsze należy sprawdzić znak wyróżnika, aby mieć pewność, że rozkład jest już ostateczny.
Procedura ta jest wykonalna dla wielomianu dowolnego stopnia, o czym mówi poniższe twierdzenie.
TWIERDZENIEKażdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego.
Zapoznaj się z jeszcze jedną metodą, w której korzysta się z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu posiadającego współczynniki całkowite

 
cron