[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/db/mysqli.php on line 43: mysqli_connect() [function.mysqli-connect]: Headers and client library minor version mismatch. Headers:50545 Library:50636
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4284: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4286: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4287: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4288: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
 Działania na wielomianach
Biuro Konstrukcji Elektronicznych






teraz jesteś Wykłady
Wielomiany
Działania na wielomianach

Wielomiany

Wielomiany można dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić. Zachowane są własności działań takie jak przemienność i łączność dodawania i mnożenia, rozdzielność mnożenia względem dodawania. W wyniku otrzymujemy też wielomian.
WIELOMIAN PRZECWNY
Tworzenie wielomianu przeciwnego do danego polega na zmianie znaków na przeciwne wszystkim jednomianom tworzącym ten wielomian.
PRZYKŁAD 1:   W(x)= \:\: -4x^3+2x^2-x-7
-W(x)= -(-4x^3+2x^2-x-7)
-W(x)= \: \: \: \: \: \: \: 4x^3-2x^2+x+7



SUMA WIELOMIANÓW
W celu dodania wielomianów wystarczy dodać ich jednomiany podobne i uporządkować otrzymany wielomian.
PRZYKŁAD 2:Jeżeli W(x)= -4x^3+2x^2-x-7, V(x)=5x^5+x^4-x^3+3x^2-1, to
W(x)+V(x)=(-4x^3+2x^2-x-7)\:+\:(5x^5+x^4-x^3+3x^2-1)
W(x)+V(x)=-4x^3+2x^2-x-7+5x^5+x^4-x^3+3x^2-1
W(x)+V(x)= 5x^5+x^4-4x^3-x^3+2x^2+3x^2-x-7-1
W(x)+V(x)= 5x^5+x^4-5x^3+5x^2-x-8
UWAGA 1:Stopień sumy wielomianów jest równy co najwyżej największemu stopniomi spośród tych wielomianów.
PRZYKŁAD 3:Niech dane będą wielomiany:
P(x)= x^6-4x^5+x^3+8x^2+7
Q(x)= -x^3+4x^2+x+1
R(x)=x^3+2x+1
Zauważmy, że stopień wielomianu P(x) jesr równy 6.
Natomiast stopnie wielomianów Q(x), \: R(x) są równe 3.
Wtedy wg UWAGI stopień sumy wielomianów P(x)+Q(x) będzie równy co najwyżej 6.
Sprawdźmy:P(x)+Q(x)=(x^6-4x^5+x^3+8x^2+7)\:+\:(-x^3+4x^2+x+1)
P(x)+Q(x)=x^6-4x^5+x^3+8x^2+7-x^3+4x^2+x+1
P(x)+Q(x)=x^6-4x^5+x^3-x^3+8x^2+4x^2+x+7+1
P(x)+Q(x)=x^6-4x^5+12x^2+x+8
Stopień otrzymanej sumy jest równy dokładnie 6. Dlaczego w UWADZE mamy słowo "co najwyżej"?
Rozpatrzmy teraz sumę Q(x)+R(x).
Jej stopień równy powinien być co najwyżej 3, czy dokładnie 3?
Sprawdźmy:Q(x)+R(x)=(-x^3+4x^2+x+1)\:+\:(x^3+2x+1)
Q(x)+R(x)=-x^3+4x^2+x+1+x^3+2x+1
Q(x)+R(x)=-x^3+x^3+4x^2+x+2x+1+1
Q(x)+R(x)=4x^2+3x+2
Jak widać stopień otrzymanej sumy jest równy 2. Współczynniki przy trzeciej potędze x się zredukowały.
UWAGA 2:Suma wielomianu W(x) i wielomianu do niego przeciwnego -W(x) jest wielomianem zerowym.



RÓŻNICA WIELOMIANÓW
W celu odjęcia od wielomianu W(x) wielomianu V(x) wystarczy do wielomianu W(x) dodać wielomian przeciwny do V(x), a następnie wykonać redukcję jednomianów podobnych i uporządkować otrzymany wielomian.
PRZYKŁAD 4:Jeżeli W(x)= -4x^3+2x^2-x-7, V(x)=5x^5+x^4-x^3+3x^2-1, to
-V(x)=-(5x^5+x^4-x^3+3x^2-1)
-V(x)= -5x^5-x^4+x^3-3x^2+1
wtedy
W(x)+(-V(x))=(-4x^3+2x^2-x-7)\:+\:(-5x^5-x^4+x^3-3x^2+1)
W(x)+(-V(x))=-4x^3+2x^2-x-7-5x^5-x^4+x^3-3x^2+1
W(x)+(-V(x))= -5x^5-x^4-4x^3+x^3+2x^2-3x^2-x-7+1
W(x)+(-V(x))= -5x^5-x^4-3x^3-x^2-x-6
Powyższy PRZYKŁAD obrazuje sposób odejmowania dwóch wielomianów zgodnie z DEFINICJĄ, jednak w praktyce postępuje się prościej.
PRZYKŁAD 5:Jeżeli W(x)= -4x^3+2x^2-x-7, V(x)=5x^5+x^4-x^3+3x^2-1, to
W(x)-V(x)=(-4x^3+2x^2-x-7)\:-\:(5x^5+x^4-x^3+3x^2-1)
W(x)-V(x)=-4x^3+2x^2-x-7-5x^5-x^4+x^3-3x^2+1
W(x)-V(x)= -5x^5-x^4-4x^3+x^3+2x^2-3x^2-x-7+1
W(x)-V(x)= -5x^5-x^4-3x^3-x^2-x-6
UWAGA 3:Stopień różnicy wielomianów jest równy co najwyżej największemu stopniomi spośród tych wielomianów.



MNOŻENIE WIELOMIANU PRZEZ LICZBĘ (SKALAR)
Aby pomnożyć wielomian przez niezerową liczbę rzeczywistą korzystamy z rozdzielności mnożenia względem dodawania.
PRZYKŁAD 6:Jeżeli W(x)= -4x^3+2x^2-x-7, to
\frac{1}{2} \cdot W(x)=\frac{1}{2}(-4x^3+2x^2-x-7)
\frac{1}{2} \cdot W(x)=\frac{1}{2} \cdot (-4x^3)+ \frac{1}{2} \cdot 2x^2+ \frac{1}{2} \cdot (-x)+ \frac{1}{2} \cdot (-7)
\frac{1}{2} \cdot W(x)=-2x^3+x^2- \frac{1}{2}x- \frac{7}{2}
UWAGA 4:W wyniku mnożenia wielomianu przez zero otrzymujemy wielomian zerowy.
UWAGA 5:Stopień wielomianu pomnożonego przez liczbę rzeczywistą różną od zera pozostaje niezmieniony.



ILOCZYN WIELOMIANÓW
Aby pomnożyć wielomian przez wielomian, należy kolejno pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego wielomianu.
PRZYKŁAD 7:Jeżeli W(x)= -4x^3+2x^2-x-7, R(x)=x^3+2x+1, to
W(x) \cdot R(x)=(-4x^3+2x^2-x-7)(x^3+2x+1)
W(x) \cdot R(x)=-4x^3 \cdot x^3+(-4x^3) \cdot 2x+(-4x^3) \cdot 1\:+\:2x^2 \cdot x^3+2x^2 \cdot 2x+2x^2 \cdot 1\:+
                         +\:(-x) \cdot x^3+(-x) \cdot 2x+(-x) \cdot 1\:+\:(-7) \cdot x^3+(-7) \cdot 2x+(-7) \cdot 1
W(x) \cdot R(x)=-4x^6-8x^4-4x^3+2x^5+4x^3+2x^2-x^4-2x^2-x-7x^3-14x-7
W(x) \cdot R(x)=-4x^6+2x^5-8x^4-x^4-4x^3+4x^3-7x^3+2x^2-2x^2-x-14x-7
W(x) \cdot R(x)=-4x^6+2x^5-9x^4-7x^3-15x-7
UWAGA 6:W wyniku mnożenia wielomianu przez wielomian zerowy otrzymujemy wielomian zerowy.
UWAGA 7:Stopień iloczynu wielomianów jest równy sumie stopni tych wielomianów.
[Rozmiar: 25114 bajtów]Kolejnym działaniem, z którym warto się zapoznać jest dzielenie wielomianów



cron