[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/db/mysqli.php on line 43: mysqli_connect() [function.mysqli-connect]: Headers and client library minor version mismatch. Headers:50545 Library:50636
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4284: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4286: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4287: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4288: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
 Definicja i przykłady
Biuro Konstrukcji Elektronicznych






teraz jesteś Wykłady
Wielomiany
Definicja i przykłady
Wielomiany

 
DEFINICJAWielomianem zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję

W(x)\:=\: a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ ... +a_2x^2+a_1x+a_0
Liczby rzeczywiste a_n,\:a_{n-1},\: ... ,\:a_2, \: a_1,\: a_0 nazywamy współczynnikami wielomianu.
Współczynnik a_0 nazywamy wyrazem wolnym.
Jeżeli a_n \not{=} 0, to liczbę naturalną n(n \in \mathbb{N}_+) nazywamy stopniem wielomianu.
WielomianyWyrażenie J(x)=ax^n nazywamy jednomianem.
Jednomian J(x)=a jest jednomianem stopnia zerowego, ponieważ J(x)=a=a \cdot x^0.
Jednomian J(x)=0 nazywamy wielomianem zerowym i nie ma on określonego stopnia. Dlaczego?
Ponieważ J_1(x)=0 \cdot x^2=0 oraz J_2(x)=0 \cdot x^3=0 itd. wielomian zerowy można przedstawić jako dowolną potęgę x.
Jednomiany tych samych stopni i tej samej zmiennej np. x nazywamy jednomianami podobnymi. Jednomiany podobne można zredukować do jednego jednomianu podobnego do nich.
PRZYKŁAD 1:Z danych jednomianów wybierzemy jednomiany podobne i przeprowadzimy redukcję:
 2x^5, \: -2x^5, \: -y^5, \: 3x^5, \: 2y^5, \:5y^5, \: -7x^5, \:4xy, \:-\sqrt{2}xy, \:3y^5, \:-xy, \:-x^5
ROZWIĄZANIE:Mamy trzy grupy jednomianów podobnych:
 2x^5, \: -2x^5, \: 3x^5, \: -7x^5, \:-x^5
 -y^5,\: 2y^5, \:5y^5, \:3y^5
 4xy, \:-\sqrt{2}xy, \:-xy
Przeprowadźmy redukcję:
 2x^5+(-2x^5)+3x^5+(-7x^5)+(-x^5)\:=\: -5x^5
 -y^5+2y^5+5y^5+3y^5\:=\: 9y^5
 4xy+(-\sqrt{2}xy)+(-xy)\:=\: (3-\sqrt{2})xy
Jak łatwo zauważyć wielomian zmiennej x jest sumą jednomianów różnych stopni tej samej zmiennej.
Wielomian może być sumą dowolnej skończonej liczby jednomianów. Jednak wielomiany, które posidają dwa niezerowe składniki różnych stopni nazywamy dwumianami.
Wielomiany, które są sumą trzech niezerowych jednomianów różnych stopni nazywamy trójmianami. W szczególnym przypadku trójmian drugiego stopnia nazywamy trójmianem kwadratowym.
PRZYKŁAD 2:DWUMIANYTRÓJMIANY
 W(x)=-x^7-1R(x)=1+x^3-5x^2
 V(x)=x^5-x^4P(x)=x-3x^6+3
 Q(x)=3x+2F(x)=x^2-2x+5
Ostatnie dwa przykłady wyglądają znajomo. Otóż funkcja liniowa i funkcja kwadratowa to szczególne przypadki wielomianów.

Mając dany wielomian najlepiej uporzadkować jego wyrazy według definicji, czyli przedstawić w postaci sumy jednomianów w kolejności od stopnia najwyższego do najniższego. Wtedy łatwo możemy odczytać stopień wielomianu oraz poszczególne współczynniki.
PRZYKŁAD 3:V(x)=-2x^2+x^5-9x^4-7x^3+2x^4+14x^2-x+x^5+7x^5-8x^2-1+x+5
Uporządkujmy wyrazy wielomianu:
V(x)=x^5+x^5+7x^5-9x^4+2x^4-7x^3-2x^2+14x^2-8x^2-x+x-1+5

Przeprowadźmy redukcję wyrazów podobnych
V(x)=9x^5-7x^4-7x^3+4x^2+0x+4
V(x)=9x^5-7x^4-7x^3+4x^2+4

Stopniem wielomianu V(x) jest n=5

Współczynnikami tego wielomianu są liczby: a_5=9,\: a_4=-7, \:a_3=-7, \: a_2=4, \:a_1=0,\: a_0=4

 

cron