[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/db/mysqli.php on line 43: mysqli_connect() [function.mysqli-connect]: Headers and client library minor version mismatch. Headers:50545 Library:50636
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4284: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4286: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4287: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4288: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
 Nierówności kwadratowe
Biuro Konstrukcji Elektronicznych






teraz jesteś Wykłady
Funkcja kwadratowa
Nierówności kwadratowe
[Rozmiar: 9403 bajtów]
DEFINICJA:Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
ax^2\:+\:bx\:+\:c\:>\:0, \:\:\: ax^2\:+\:bx\:+\:c\:\geq \:0, \\\ ax^2\:+\:bx\:+\:c\:<\:0,\:\:\: ax^2\:+\:bx\:+\:c\: \leq\:0,
gdzie  a, b, c, x \: \in R oraz a \neq 0.
Rozwiązać nierówność kwadratową oznacza znaleźć zbiór tych argumentów, dla których wartości funkcji spełniają daną nierówność.
Na przykład, aby rozwiązać nierówność  ax^2\:+\:bx\:+\:c\:<\:0  wystarczy wskazać zbiór argumentów, dla których funkcja  f(x)\:=\:ax^2\:+\:bx\:+\:c  przyjmuje wartości ujemne.
[Rozmiar: 115873 bajtów]
PRZYKŁAD 1.:   Rozwiążmy nierówność  x^2\:-\:4\: \geq\:0

W celu znalezienia argumentów, dla których wartości funkcji  f(x)\:=\:x^2\:-\:4  są większe lub równe zero, naszkicujemy wykres funkcji  f(x).
  1. Wierzchołek paraboli:    W=(0;\:-4)
  2. Miejsca zerowe:    x^2\:-\:4\:=\:0\: \Leftrightarrow\:(x\:-\:2)(x\:+\:2)\:=\:0\: \Leftrightarrow\:x\:-\:2\:=\:0\: \vee \:x\:+\:2\:=\:0\: \Leftrightarrow
     \Leftrightarrow \:x\:=\:2\: \vee \:x\:=\:-2
  3. Punkt przecięcia z osią OY:    (0;\:-4)
     
[Rozmiar: 18568 bajtów]

x^2\:-\:4\: \geq\:0\: \Leftrightarrow\:x \in (- \infty; \:-2 \rangle \: \cup \: \langle 2; \: +\infty).
 
Analizując powyższy PRZYKŁAD łatwo zauważyć, że sporządzanie dokładnego wykresu funkcji nie jest konieczne. Do odczytania rozwiązania nierówności potrzebujemy tylko wartości miejsc zerowych (lub informację o ich braku) oraz znak współczynnika przy  x^2  do określenia kierunku ramion paraboli. Wtedy możemy naszkicować tzw. przybliżony wykres funkcji i wyznaczyć rozwiązanie.
 

PRZYKŁAD 2.:   Rozwiąż nierówność  -x^2\:+\:2x\:-\:1\:<\:0
KROK I:    Miejsca zerowe funkcji  f(x)\:=\:-x^2\:+\:2x\:-\:1

-x^2\:+\:2x\:-\:1\:=\:0
a\:=\:-1,\:\:\: b\:=\:2,\:\:\: c\:=\:-1
\Delta\:=\:4\:-\:4\cdot(-1)\cdot(-1)\:=\:0
x_0\:=\:\frac{-2}{-2}\:=\:1

KROK II:    Ramiona paraboli skierowane są ku dołowi

KROK III:    Przybliżony wykres funkcji  f(x):
[Rozmiar: 7317 bajtów]Pamiętajmy, że celem przybliżonego wykresu funkcji jest ułatwienie nam odczytania tych argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne - w tym zadaniu.
Rysujemy oś OX, oś OY nie jest potrzebna, dlatego pomijamy ją, na osi zaznaczamy miejsce zerowe oznaczając je:
punktem zamkniętym - jeżeli nierówność jest nieostra
              (tzn. w nierówności występuje znak \geq lub \leq)
punktem otwartym - jeżeli nierówność jest ostra
              (tzn. w nierówności występuje(znak > lub <).
Następnie możemy naszkicować parabolę pamiętając o kierunku ramion.

 
KROK IV:    Odczytujemy rozwiązanie:  x\in (-\infty; \:1)\: \cup \:(1; \:+\infty).
 
[Rozmiar: 25114 bajtów]
 
Chcesz przeanalizować więcej przykładów nierówności kwadratowych lub samodzielnie poćwiczyć rozwiązywanie i sprawdzić odpowiedź, zobacz koniecznie:
Nierówności kwadratowe - zadania.
 
cron