[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/db/mysqli.php on line 43: mysqli_connect() [function.mysqli-connect]: Headers and client library minor version mismatch. Headers:50545 Library:50636
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4284: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4286: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4287: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4288: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
 Równania kwadratowe
Biuro Konstrukcji Elektronicznych






teraz jesteś Wykłady
Funkcja kwadratowa
Równania kwadratowe
[Rozmiar: 6123 bajtów]
DEFINICJA:Równaniem kwadratowym nazywamy równanie w postaci  ax^2\:+\:bx\:+\:c\:=\:0,  gdzie a, b, c, x \: \in R  oraz a \neq 0 .
[Rozmiar: 13358 bajtów]Co to znaczy rozwiązać równanie kwadratowe ?
Gdybyśmy rozważali funkcję kwadratową  f(x)\:=\:ax^2\:+\:bx\:+\:c  i wartość funkcji przyrównali do zera, otrzymalibyśmy właśnie równanie kwadratowe, a przyrównywanie wartości funkcji do zera, to nic innego jak wyznaczanie miejsc zerowych funkcji.
Zatem ... aby rozwiązać równanie kwadratowe  ax^2\:+\:bx\:+\:c\:=\:0,  wystarczy znaleźć miejsca zerowe funkcji  f(x)\:=\:ax^2\:+\:bx\:+\:c.
Z wcześniejszych rozważań na temat miejsc zerowych funkcji kwadratowej wiemy już, że ich liczba zależy od znaku wyróżnika (\Delta). Analogiczna sytuacja zachodzi dla równania kwadratowego.
TWIERDZENIE:Równanie kwadratowe  ax^2\:+\:bx\:+\:c\:=\:0,  gdzie a, b, c, x \: \in R  oraz a \neq 0 :
  1. gdy  \Delta\:<\:0  nie ma rozwiązań;
  2. gdy  \Delta\:=\:0  ma jedno rozwiązanie:  x_0\:=\:-\frac{b}{2a};
  3. gdy  \Delta\:>\:0  ma dwa rozwiązania:  x_1\:=\: \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a},\:\:x_2\:=\: \frac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}.
Dodajmy jeszcze, że rozwiązania równania kwadratowego nazywamy jego pierwiastkami.
 
ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ KWADRATOWYCH:
Oczywiście wszystkie równania kwadratowe można rozwiązać badając znak  \Delta  i stosownie do niego skorzystać ze wzorów z powyższego twierdzenia. Tak też najłatwiej postąpić w przypadku równań kwadratowych zupełnych, czyli takich, w których wszystkie współczynniki  a,\:b,\:c  są różne od zera. Jednak czasami jest to metoda zbyt skomplikowana w stosunku do postaci równania.
Rozważmy trzy typy równań kwadratowych, w których przynajmniej jeden ze współczynników jest równy zero, równania takie nazywamy równaniami niezupełnymi.

TYP  I  b\:=\:0\: \wedge\:c\:=\:0 :

ax^2\:=\:0
x\:=\:0
PRZYKŁAD 1.:

5x^2\:=\:0
5x^2\:=\:0\:|:5
x^2\:=\:0
x\:=\:0

TYP  II  b\:\neq 0\:\wedge\: c\:=\:0 :

ax^2\:+\:bx\:=\:0
x(ax\:+\:b)\:=\:0

z własności: {\color{red} m\cdot n\:=\:0\: \Leftrightarrow\:m=0\: \vee n=0}

x\:=\:0\:\:\vee\:\:ax\:+\:b\:=\:0

ponieważ z założenia  {\color{red} a\:\neq\:0}

x\:=\:0\:\:\vee\:\:x\:=\:\frac{-b}{a}
 
PRZYKŁAD 2.:

3x^2\:-\:4x\:=\:0
x(3x\:-\:4)\:=\:0
x\:=\:0\:\:\vee\:\:3x\:-\:4\:=\:0
x\:=\:0\:\:\vee\:\:3x\:=\:4\:|:3
x\:=\:0\:\:\vee\:\:x\:=\:\frac{4}{3}

TYP  III  b\:=\:0\:\wedge\: c\:\neq\:0 :

ax^2\:+\:c\:=\:0



PRZYP. 1.  a\cdot c\:<\:0, czyli współczynniki a,\:c są przeciwnych znaków;
w rozwiązaniu tego typu równań korzystamy:

  ze wzoru skróconego mnożenia:
{\color{red} m^2-n^2\:=\:(m-n)(m+n)}

  oraz z własności:
{\color{red} m\cdot n\:=\:0\: \Leftrightarrow\:m=0\: \vee \: n=0}










PRZYP. 2.  a\cdot c\:>\:0, czyli współczynniki a,\:c mają takie same znaki;
w tego typu równaniach zawsze otrzymujemy równanie sprzeczne.







PRZYKŁAD 3.:

-x^2\:+\:4\:=\:0
4\:-\:x^2\:=\:0
(2-x)(2+x)\:=\:0
2-x\:=\:0\:\:\vee\:\:2+x\:=\:0
x\:=\:2\:\:\vee\:\:x\:=\:-2


PRZYKŁAD 4.:

3x^2\:-\:4\:=\:0
\sqrt{3}^2x^2\:-\:2^2\:=\:0
(x\sqrt{3}-2)(x\sqrt{3}+2)\:=\:0
x\sqrt{3}-2\:=\:0\:\:\vee\:\:x\sqrt{3}+2\:=\:0
x\:=\:\frac{2\sqrt{3}}{3}\:\:\vee\:\:x\:=\:-\frac{2\sqrt{3}}{3}



PRZYKŁAD 5.:

3x^2\:+\:6\:=\:0
3x^2\:=\:-6\:|:3
x^2\:=\:-2
Ponieważ  x^2\: \geq\:0  dla każdego  x\in R
równanie  x^2\:=\:-2  jest sprzeczne.

Równanie  3x^2\:+\:6\:=\:0  nie ma rozwiązań.


PRZYKŁAD 6.:

-x^2\:-\:1\:=\:0
-x^2\:=\:1\:
x^2\:=\:-1
analogicznie jak w PRZYKŁADZIE 5.
x \in \emptyset
[Rozmiar: 25114 bajtów]Chcesz poćwiczyć rozwiązywanie równań kwadratowych, zobacz koniecznie:
Równania kwadratowe - zadania.
cron