![[Rozmiar: 12348 bajtów]](/images/wyklady/f_kwadratowa/def.jpg) | Funkcja kwadratowa służy do opisu wielu zjawisk naturalnych i fizycznych: tor kropel wody wyrzucanych z fontanny, lawy tryskającej z wulkanu, tor rzucanej piłki, czy wystrzelonego pocisku. | ![[Rozmiar: 14079 bajtów]](/images/wyklady/f_kwadratowa/wulkan1.jpg) | ![[Rozmiar: 25022 bajtów]](/images/wyklady/f_kwadratowa/wulkan3.jpg) | ![[Rozmiar: 15404 bajtów]](/images/wyklady/f_kwadratowa/wulkan4.jpg) | ![[Rozmiar: 21340 bajtów]](/images/wyklady/f_kwadratowa/fontanna1.jpg) | Przy pomocy funkcji kwadratowej opisujemy zależności w przyrodzie, gospodarce, ekonomii i życiu codziennym. | ![[Rozmiar: 22153 bajtów]](/images/wyklady/f_kwadratowa/fontanna2.jpg) |
| Co to właściwie jest ta funkcja kwadratowa? | DEFINICJA: | Funkcja kwadratowa (trójmian kwadratowy) jest to wielomian drugiego stopnia określony wzorem: | | , | | gdzie współczynniki są ustalonymi liczbami rzeczywistymi oraz  |
| Funkcję kwadratową zapisaną w powyższej postaci nazywamy funkcją kwadratową w postaci ogólnej. Istnieją także szczególne postacie funkcji kwadratowej uwydatniające pewne jej własności:- postać kanoniczna funkcji kwadratowej ułatwiająca odczytanie współrzędnych wierzchołka paraboli, który jest wykresem tej funkcji,
- postać iloczynowa funkcji kwadratowej ułatwiająca odczytanie miejsc zerowych funkcji.
| WYKRES: | Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola przecinająca oś OY w punktcie . Jej wierzchołek znajduje się w punkcie , gdzie , natomiast nazywamy wyróżnikiem trójmianu kwadratowego . |
| WŁASNOŚCI WYKRESU FUNKCJI KWADRATOWEJ: | gdy ramiona paraboli skierowane są ku górze | gdy ramiona paraboli skierowane są ku dołowi | ![[Rozmiar: 14688 bajtów]](/images/wyklady/f_kwadratowa/wykres9.jpg) | ![[Rozmiar: 15428 bajtów]](/images/wyklady/f_kwadratowa/wykres10.jpg) | , ,- liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej uzależniona jest od położenia wierzchołka paraboli względem osi OX
(zobacz: Miejsca zerowe funkcji kwadratowej), -
dla 
dla , - funkcja osiąga wartość najmniejszą w zbiorze liczb rzeczywistych (minimum globalne)
dla , - wartość największa w zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje,
- funkcja nie jest różnowartościowa,
- wykres funkcji jest symetryczny względem prostej
,
| , ,- liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej uzależniona jest od położenia wierzchołka paraboli względem osi OX
(zobacz: Miejsca zerowe funkcji kwadratowej), dla 
dla ,- funkcja osiąga wartość największą w zbiorze liczb rzeczywistych (maksimum globalne)
dla , - wartość najmniejsza w zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje,
- funkcja nie jest różnowartościowa,
- wykres funkcji jest symetryczny względem prostej
,
| Zobaczmy teraz jak się zmienia wykres funkcji zależnie od wartości współczynników  PRZYPADEK 1. Ustalmy wartości i sprawdźmy na co ma wpływ wartość współczynnika . Niech : | \:=\:2x^2}) \:=\:x^2}) \:=\:\frac{1}{3}x^2})
![[Rozmiar: 16523 bajtów]](/images/wyklady/f_kwadratowa/wykres11.jpg) | \:=\:-2x^2}) \:=\:-x^2}) \:=\:-\frac{1}{3}x^2})
![[Rozmiar: 16411 bajtów]](/images/wyklady/f_kwadratowa/wykres12.jpg) | PRZYPADEK 2. Ustalmy teraz wartości i sprawdźmy na co ma wpływ wartość współczynnika . Niech : | \:=\:x^2\:+\:2x}) \:=\:x^2\:+\:x}) \:=\:x^2\:+\:\frac{1}{3}x})
![[Rozmiar: 17860 bajtów]](/images/wyklady/f_kwadratowa/wykres13.jpg) | \:=\:x^2\:-\:2x}) \:=\:x^2\:-\:x}) \:=\:x^2\:-\:\frac{1}{3}x})
![[Rozmiar: 18203 bajtów]](/images/wyklady/f_kwadratowa/wykres14.jpg) | PRZYPADEK 3. Niech teraz : | \:=\:x^2\:+\:x\:+\:2}) \:=\:x^2\:+\:x\:+\:1}) \:=\:x^2\:+\:x\:+\:\frac{1}{3}})
![[Rozmiar: 16874 bajtów]](/images/wyklady/f_kwadratowa/wykres15.jpg) | \:=\:x^2\:+\:x\:-\:2}) \:=\:x^2\:+\:x\:-\:1}) \:=\:x^2\:+\:x\:-\:\frac{1}{3}})
![[Rozmiar: 19480 bajtów]](/images/wyklady/f_kwadratowa/wykres16.jpg) |
| |
|