[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/db/mysqli.php on line 43: mysqli_connect() [function.mysqli-connect]: Headers and client library minor version mismatch. Headers:50545 Library:50636
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4284: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4286: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4287: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4288: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
 Definicja i wykres
Biuro Konstrukcji Elektronicznych






teraz jesteś Wykłady
Funkcja kwadratowa
Definicja i wykres
[Rozmiar: 12348 bajtów]
      Funkcja kwadratowa służy do opisu wielu zjawisk naturalnych i fizycznych: tor kropel wody wyrzucanych z fontanny, lawy tryskającej z wulkanu, tor rzucanej piłki, czy wystrzelonego pocisku.
[Rozmiar: 14079 bajtów][Rozmiar: 25022 bajtów]
[Rozmiar: 15404 bajtów][Rozmiar: 21340 bajtów]
Przy pomocy funkcji kwadratowej opisujemy zależności w przyrodzie, gospodarce, ekonomii i życiu codziennym.[Rozmiar: 22153 bajtów]
Co to właściwie jest ta funkcja kwadratowa?
DEFINICJA:Funkcja kwadratowa (trójmian kwadratowy) jest to wielomian drugiego stopnia określony wzorem:
 f(x)\:=\:ax^2\:+\:bx\:+\:c,
 gdzie współczynniki  a, \:b, \:c  są ustalonymi liczbami rzeczywistymi oraz  \: a \neq 0
Funkcję kwadratową zapisaną w powyższej postaci nazywamy funkcją kwadratową w postaci ogólnej.
Istnieją także szczególne postacie funkcji kwadratowej uwydatniające pewne jej własności:
postać kanoniczna funkcji kwadratowej ułatwiająca odczytanie współrzędnych wierzchołka paraboli, który jest wykresem tej funkcji,
postać iloczynowa funkcji kwadratowej ułatwiająca odczytanie miejsc zerowych funkcji.
WYKRES:Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola przecinająca oś OY w punktcie \:\: (0; \:c).
Jej wierzchołek znajduje się w punkcie  W=(p; \:q), gdzie    p\:=\:-\frac{b}{2a} \:,\:\: q\:=\:-\frac{\Delta}{4a},
natomiast  \:\:\Delta\:=\:b^2\:-\:4ac \:\: nazywamy wyróżnikiem trójmianu kwadratowego .
WŁASNOŚCI WYKRESU FUNKCJI KWADRATOWEJ:

gdy  a \:>\:0  ramiona paraboli
skierowane są ku górze

gdy  a \:<\:0  ramiona paraboli
skierowane są ku dołowi
[Rozmiar: 14688 bajtów][Rozmiar: 15428 bajtów]
  1. D_f\:=\:R,
  2. ZW_f\:=\:\langle q;\:+\infty),
  3. liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej uzależniona jest od położenia wierzchołka paraboli względem osi OX
    (zobacz: Miejsca zerowe funkcji kwadratowej),
  4.  f(x)\searrow dla  x \in (-\infty; \:p\rangle

    f(x)\nearrow dla  x \in \langle p;\:+\infty),
  5. funkcja osiąga wartość najmniejszą w zbiorze liczb rzeczywistych (minimum globalne)  f_{min} \:=\:q \:\:\: dla  \:\:\: x\:=\:p,
  6. wartość największa w zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje,
  7. funkcja nie jest różnowartościowa,
  8. wykres funkcji jest symetryczny względem prostej  x\:=\:p,
  1. D_f\:=\:R,
  2. ZW_f\:=\:\(-\infty; \:q \rangle,
  3. liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej uzależniona jest od położenia wierzchołka paraboli względem osi OX
    (zobacz: Miejsca zerowe funkcji kwadratowej),
  4. f(x)\nearrow  dla  x \in (-\infty; \:p\rangle

    f(x)\searrow  dla  x \in \langle p;\:+\infty),
  5. funkcja osiąga wartość największą w zbiorze liczb rzeczywistych (maksimum globalne)  f_{max} \:=\:q \:\:\: dla  \:\:\: x\:=\:p,
  6. wartość najmniejsza w zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje,
  7. funkcja nie jest różnowartościowa,
  8. wykres funkcji jest symetryczny względem prostej  x\:=\:p,
Zobaczmy teraz jak się zmienia wykres funkcji zależnie od wartości współczynników  a, \:b, \:c
PRZYPADEK 1.     Ustalmy wartości  b, \:c  i sprawdźmy na co ma wpływ wartość współczynnika  a.
Niech  a \in \{2, \:1, \:\frac{1}{3}\: ,\: -2,\: -1, \:-\frac{1}{3}\}, \:b\:=\:0, \:c\:=\:0:
{\color{red} f(x)\:=\:2x^2}
{\color{green} f(x)\:=\:x^2}
{\color{blue} f(x)\:=\:\frac{1}{3}x^2}
[Rozmiar: 16523 bajtów]
{\color{red} f(x)\:=\:-2x^2}
{\color{green} f(x)\:=\:-x^2}
{\color{blue} f(x)\:=\:-\frac{1}{3}x^2}
[Rozmiar: 16411 bajtów]
PRZYPADEK 2.     Ustalmy teraz wartości  a, \:c  i sprawdźmy na co ma wpływ wartość współczynnika  b.
Niech  a\:=\:1 , \:b \in \{2,\: 1, \:\frac{1}{3}\: ,\: -2, \:-1, \:-\frac{1}{3}\}, \:c\:=\:0:
{\color{red} f(x)\:=\:x^2\:+\:2x}
{\color{green} f(x)\:=\:x^2\:+\:x}
{\color{blue} f(x)\:=\:x^2\:+\:\frac{1}{3}x}
[Rozmiar: 17860 bajtów]
{\color{red} f(x)\:=\:x^2\:-\:2x}
{\color{green} f(x)\:=\:x^2\:-\:x}
{\color{blue} f(x)\:=\:x^2\:-\:\frac{1}{3}x}
[Rozmiar: 18203 bajtów]
PRZYPADEK 3.     Niech teraz  a\:=\:1 , \:b\:=\:1 , \:c \in \{2,\: 1,\: \frac{1}{3}\: ,\: -2,\: -1, \:-\frac{1}{3}\}:
{\color{red} f(x)\:=\:x^2\:+\:x\:+\:2}
{\color{green} f(x)\:=\:x^2\:+\:x\:+\:1}
{\color{blue} f(x)\:=\:x^2\:+\:x\:+\:\frac{1}{3}}
[Rozmiar: 16874 bajtów]
{\color{red} f(x)\:=\:x^2\:+\:x\:-\:2}
{\color{green} f(x)\:=\:x^2\:+\:x\:-\:1}
{\color{blue} f(x)\:=\:x^2\:+\:x\:-\:\frac{1}{3}}
[Rozmiar: 19480 bajtów]
[Rozmiar: 25114 bajtów]Chcesz się dowiedzieć czegoś więcej o postaciach funkcji kwadratowej, zobacz koniecznie:
Postać ogólna funkcji kwadratowej.
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej.
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej.
cron