Definicja i wykres

Wychowanie przedszkolne: Podstawa programowa; Publikacje; Karty pracy
Szkoła podstawowa I-III: Podstawa programowa; Publikacje
Szkoła podstawowa IV-VI: Nowa podstawa programowa; Arkusze egzaminacyjne; Karty pracy; Publikacje
Gimnazjum: Podstawa programowa; Arkusze egzaminacyjne; Karty pracy; Publikacje
Szkoła średnia: Nowa podstawa programowa; Arkusze egzaminacyjne; Teoria i praktyka; Karty pracy; Publikacje
Testy: Ciągi liczbowe-testy; Funkcja kwadratowa-testy; Geometria analityczna-testy; Wielomiany-testy

Wzory: Logarytmy-wzory; Logika matematyczna-symbole i oznaczenia; Zbiory i działania na nich; Wzory skróconego mnożenia; Funkcja kwadratowa-wzory; Wielomiany-wzory; Wektory-wzory; Geometria analityczna-wzory; Funkcje trygonometryczne-wzory
Tablice matematyczne: Wzory redukcyjne; Alfabet grecki; Rzymski system; Tablica dużych liczb; Tablica niektórych potęg; Tablica silni; Tablica wartości trygonometrycznych; Tablica wielokrotności; Tablica znaków trygonometrycznych

Problemy: Hipoteza Goldbacha; Problem o szczęśliwym...
Ciekawostki: Krzyżówki; Matematyka w poezji ...; Humor matematyczny
Aforyzmy i cytaty: Albert Einstein; Cytaty - różne; Arystoteles

Najnowsze artykuły
Karty pracy
Teoria i praktyka
Karty pracy
Arkusze egzaminacyjne
Karty pracy

Artykuły ostatnio modyfikowane
KOREPETYCJE
Arkusze egzaminacyjne
Karty pracy

Linkownia
Kurs HTML; CSS
cke.edu.pl

teraz jesteś

Wykłady

Funkcja kwadratowa
Zdania, zbiory i przedziały liczbowe
Liczby rzeczywiste
Wielomiany

Definicja i wykres
Postacie funkcji kwadratowej
Miejsca zerowe
Postać iloczynowa
Przekształcenie wzoru funkcji: postać ogólna $\leftrightarrow$ postać kanoniczna
Przekształcenie wzoru funkcji: postać ogólna $\leftrightarrow$ postać iloczynowa
Przekształcenie wzoru funkcji: postać kanoniczna $\leftrightarrow$ postać iloczynowa
Wzory Viète
Równania kwadratowe
Nierówności kwadratowe

Funkcja kwadratowa służy do opisu wielu zjawisk naturalnych i fizycznych: tor kropel wody wyrzucanych z fontanny, lawy tryskającej z wulkanu, tor rzucanej piłki, czy wystrzelonego pocisku.



Przy pomocy funkcji kwadratowej opisujemy zależności w przyrodzie, gospodarce, ekonomii i życiu codziennym.

Co to właściwie jest ta funkcja kwadratowa?

DEFINICJA:	Funkcja kwadratowa (trójmian kwadratowy) jest to wielomian drugiego stopnia określony wzorem:
	$f(x)\:=\:ax^2\:+\:bx\:+\:c$ ,
	gdzie współczynniki $a, \:b, \:c$ są ustalonymi liczbami rzeczywistymi oraz $\: a \neq 0$

Funkcję kwadratową zapisaną w powyższej postaci nazywamy funkcją kwadratową w postaci ogólnej.
Istnieją także szczególne postacie funkcji kwadratowej uwydatniające pewne jej własności:

postać kanoniczna funkcji kwadratowej ułatwiająca odczytanie współrzędnych wierzchołka paraboli, który jest wykresem tej funkcji,

postać iloczynowa funkcji kwadratowej ułatwiająca odczytanie miejsc zerowych funkcji.

WYKRES:

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola przecinająca oś OY w punktcie $\:\: (0; \:c)$ .
Jej wierzchołek znajduje się w punkcie $W=(p; \:q)$ , gdzie $p\:=\:-\frac{b}{2a} \:,\:\: q\:=\:-\frac{\Delta}{4a}$ ,
natomiast $\:\:\Delta\:=\:b^2\:-\:4ac \:\:$ nazywamy wyróżnikiem trójmianu kwadratowego .

WŁASNOŚCI WYKRESU FUNKCJI KWADRATOWEJ:
gdy $a \:>\:0$ ramiona paraboli skierowane są ku górze	gdy $a \:<\:0$ ramiona paraboli skierowane są ku dołowi

$D_f\:=\:R$ , $ZW_f\:=\:\langle q;\:+\infty)$ , liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej uzależniona jest od położenia wierzchołka paraboli względem osi OX (zobacz: Miejsca zerowe funkcji kwadratowej), $f(x)\searrow$ dla $x \in (-\infty; \:p\rangle$ $f(x)\nearrow$ dla $x \in \langle p;\:+\infty)$ , funkcja osiąga wartość najmniejszą w zbiorze liczb rzeczywistych (minimum globalne) $f_{min} \:=\:q \:\:\:$ dla $\:\:\: x\:=\:p$ , wartość największa w zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje, funkcja nie jest różnowartościowa, wykres funkcji jest symetryczny względem prostej $x\:=\:p$ ,	$D_f\:=\:R$ , $ZW_f\:=\:\(-\infty; \:q \rangle$ , liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej uzależniona jest od położenia wierzchołka paraboli względem osi OX (zobacz: Miejsca zerowe funkcji kwadratowej), $f(x)\nearrow$ dla $x \in (-\infty; \:p\rangle$ $f(x)\searrow$ dla $x \in \langle p;\:+\infty)$ , funkcja osiąga wartość największą w zbiorze liczb rzeczywistych (maksimum globalne) $f_{max} \:=\:q \:\:\:$ dla $\:\:\: x\:=\:p$ , wartość najmniejsza w zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje, funkcja nie jest różnowartościowa, wykres funkcji jest symetryczny względem prostej $x\:=\:p$ ,
Zobaczmy teraz jak się zmienia wykres funkcji zależnie od wartości współczynników $a, \:b, \:c$ PRZYPADEK 1. Ustalmy wartości $b, \:c$ i sprawdźmy na co ma wpływ wartość współczynnika $a$ . Niech $a \in \{2, \:1, \:\frac{1}{3}\: ,\: -2,\: -1, \:-\frac{1}{3}\}, \:b\:=\:0, \:c\:=\:0$ :
${\color{red} f(x)\:=\:2x^2}$ ${\color{green} f(x)\:=\:x^2}$ ${\color{blue} f(x)\:=\:\frac{1}{3}x^2}$	${\color{red} f(x)\:=\:-2x^2}$ ${\color{green} f(x)\:=\:-x^2}$ ${\color{blue} f(x)\:=\:-\frac{1}{3}x^2}$
PRZYPADEK 2. Ustalmy teraz wartości $a, \:c$ i sprawdźmy na co ma wpływ wartość współczynnika $b$ . Niech $a\:=\:1 , \:b \in \{2,\: 1, \:\frac{1}{3}\: ,\: -2, \:-1, \:-\frac{1}{3}\}, \:c\:=\:0$ :
${\color{red} f(x)\:=\:x^2\:+\:2x}$ ${\color{green} f(x)\:=\:x^2\:+\:x}$ ${\color{blue} f(x)\:=\:x^2\:+\:\frac{1}{3}x}$	${\color{red} f(x)\:=\:x^2\:-\:2x}$ ${\color{green} f(x)\:=\:x^2\:-\:x}$ ${\color{blue} f(x)\:=\:x^2\:-\:\frac{1}{3}x}$
PRZYPADEK 3. Niech teraz $a\:=\:1 , \:b\:=\:1 , \:c \in \{2,\: 1,\: \frac{1}{3}\: ,\: -2,\: -1, \:-\frac{1}{3}\}$ :
${\color{red} f(x)\:=\:x^2\:+\:x\:+\:2}$ ${\color{green} f(x)\:=\:x^2\:+\:x\:+\:1}$ ${\color{blue} f(x)\:=\:x^2\:+\:x\:+\:\frac{1}{3}}$	${\color{red} f(x)\:=\:x^2\:+\:x\:-\:2}$ ${\color{green} f(x)\:=\:x^2\:+\:x\:-\:1}$ ${\color{blue} f(x)\:=\:x^2\:+\:x\:-\:\frac{1}{3}}$