[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/db/mysqli.php on line 43: mysqli_connect() [function.mysqli-connect]: Headers and client library minor version mismatch. Headers:50545 Library:50636
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4284: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4286: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4287: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4288: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
 Miejsca zerowe
Biuro Konstrukcji Elektronicznych






teraz jesteś Wykłady
Funkcja kwadratowa
Miejsca zerowe
     Przypomnijmy, że miejsca zerowe funkcji są to punkty wspólne wykresu tej funkcji z osią OX.
Zastanówmy się nad liczbą miejsc zerowych funkcji kwadratowej f(x)\:=\:ax^2\:+\:bx\:+\:c. W tym celu rozważmy dwa przypadki zależnie od ułożenia ramion paraboli:
 
a\:<\:0a\:>\:0
 
W każdym przypadku musimy jeszcze rozpatrzyć trzy możliwe położenia wykresu względem osi OX.

I     DWA   MIEJSCA   ZEROWE
 
[Rozmiar: 7049 bajtów]
 \left\{\begin{array}{rlc}a\:<\:0 \\\ q\:>\:0 \end{array}\right.
[Rozmiar: 6965 bajtów]
 \left\{\begin{array}{rlc}a\:>\:0 \\\ q\:<\:0 \end{array}\right.
Wiedząc,że  q\:=\:-\frac{\Delta}{4a}  mamy dalej
 \left\{\begin{array}{rlc}a\:<\:0 \\\ -\frac{\Delta}{4a}\:>\:0 \end{array}\right.
\Updownarrow
 \left\{\begin{array}{rlc}a\:<\:0 \\\ \Delta\:>\:0 \end{array}\right.
 \left\{\begin{array}{rlc}a\:>\:0 \\\ -\frac{\Delta}{4a}\:<\:0 \end{array}\right.
\Updownarrow
 \left\{\begin{array}{rlc}a\:>\:0 \\\ \Delta\:>\:0 \end{array}\right.


Jaki wniosek wypływa z powyższych rozważań ?
 
WNIOSEK:
Funkcja kwadratowa f(x)\:=\:ax^2\:+\:bx\:+\:c 
ma dwa miejsca zerowe  \Leftrightarrow gdy \Delta\:>\:0.



II     JEDNO   MIEJSCE   ZEROWE
 
[Rozmiar: 6405 bajtów][Rozmiar: 4837 bajtów]
Zauważmy, że sytuacja ta zachodzi   \Leftrightarrow  q\:=\:0
\Updownarrow
-\frac{\Delta}{4a}\:=\:0
\Updownarrow
\Delta \:=\:0

 
WNIOSEK:
Funkcja kwadratowa f(x)\:=\:ax^2\:+\:bx\:+\:c
ma jedno miejsce zerowe  \Leftrightarrow gdy \Delta\:=\:0.



III     BRAK   MIEJSC   ZEROWYCH
 
[Rozmiar: 6970 bajtów]
 \left\{\begin{array}{rlc}a\:<\:0 \\\ q\:<\:0 \end{array}\right.
[Rozmiar: 6850 bajtów]
 \left\{\begin{array}{rlc}a\:>\:0 \\\ q\:>\:0 \end{array}\right.
Pamiętając,że  q\:=\:-\frac{\Delta}{4a}   mamy dalej
 \left\{\begin{array}{rlc}a\:<\:0 \\\ -\frac{\Delta}{4a}\:<\:0 \end{array} \right.
\Updownarrow
 \left\{\begin{array}{rlc}a\:<\:0 \\\ \Delta\:<\:0 \end{array}\right.
 \left\{\begin{array}{rlc}a\:>\:0 \\\ -\frac{\Delta}{4a}\:>\:0 \end{array}\right.
\Updownarrow
 \left\{\begin{array}{rlc}a\:>\:0 \\\ \Delta\:<\:0 \end{array}\right.
 
WNIOSEK:
Funkcja kwadratowa f(x)\:=\:ax^2\:+\:bx\:+\:c
nie ma miejsc zerowych  \Leftrightarrow gdy \Delta\:<\:0.



Podsumowując nasze rozważania i wyciągnięte wnioski zapiszmy twierdzenie:
 
TWIERDZENIE:Funkcja kwadratowa f(x) \: = \: ax^2 \: + \: bx \: + \: c
gdzie a,\:b,\:c,\:x\:\in Ra \neq 0 :
  • ma dwa różne miejsca zerowe  \Leftrightarrow gdy \Delta\:>\:0 obliczamy je korzystając ze wzorów:
       x_1\:=\: \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a}   x_1\:=\: \frac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}
  • ma tylko jedno miejsce zerowe  \Leftrightarrow gdy \Delta\:=\:0 obliczamy je korzystając ze wzoru:
         x_0\:=\: -\frac{b}{2a}
  • nie ma miejsc zerowych  \Leftrightarrow gdy \Delta\:<\:0.
Zapewne zastanawiające są te wzory, które pojawiły się w twierdzeniu. Można je wyprowadzić. Jednak na razie, abyśmy się nie przeciążyli nadmiarem przekształceń, przyjmiemy je na wiarę.
cron