[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/db/mysqli.php on line 43: mysqli_connect() [function.mysqli-connect]: Headers and client library minor version mismatch. Headers:50545 Library:50636
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4284: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4286: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4287: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4288: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
 Postacie funkcji kwadratowej
Biuro Konstrukcji Elektronicznych






teraz jesteś Wykłady
Funkcja kwadratowa
Postacie funkcji kwadratowej
[Rozmiar: 38126 bajtów]
DEFINICJA:Funkcję f(x) \: = \: ax^2 \: + \: bx \: + \: c, gdzie a, b, c, x \: \in R oraz a \neq 0 , nazywamy funkcją kwadratową w  POSTACI   OGÓLNEJ.
PRZYKŁADY:f(x)= 3x^2 \: + \: x \: + \:4 a \: = \: 3 b \:= \: 1c \:= \: 4
 f(x)= x^2 \: - \: x \: + \:1 a \:= \: 1b \:= \: -1c \:= \: 1
 f(x)= -2x^2 \: + \: 3xa \:= \: -2b \:= \: 3c \:= \: 0
 f(x)= -x^2 \: + \:5 a \:= \: -1b \:= \: 0c \:= \: 5
 f(x)= \frac{1}{2}x^2 a \:= \: \frac{1}{2}b \:= \: 0c \:= \: 0
Postać ogólna funkcji kwadratowej chociaż bardzo przejrzysta utrudnia narysowanie wykresu. Jedyne informacje jakie możemy odczytać ze wzoru, to ułożenie ramion paraboli oraz punkt przecięcia wykresu z osią OY.
Postacią, bardziej pomocną do wykreślenia wykresu funkcji jest postać kanoniczna.
DEFINICJA:Funkcję f(x) \: = \: a(x\:-\:p)^2 \: + \: q, gdzie a, p, q, x \: \in R oraz a \neq 0 , nazywamy funkcją kwadratową w   POSTACI   KANONICZNEJ.
PRZYKŁADY:f(x) \: = \: 2(x\:-\:1)^2 \: + \: 3a \:= \: 2p \:= \: 1q \:= \: 3
 f(x) \: = \: (x\:-\:3)^2 \: - \: 2a \:= \: 1p \:= \: 3q \:= \: -2
 f(x) \: = \: (x\:+\:2)^2 \: - \: 1a \:= \: 1p \:= \: -2q \:= \: -1
 f(x) \: = \: -(x\:+\: \frac{1}{3})^2a \:= \: -1p \:= \: -\frac{1}{3}q \:= \: 0
 f(x) \: = \: \frac{1}{2}x^2 \: + \: 1a \:= \: \frac{1}{2}p \:= \: 0q \:= \: 1
 f(x) \: = \: -3x^2a \:= \: -3p \:= \: 0q \:= \: 0
Gdy już opanujemy prawidłowe odczytywanie współczynników z postaci kanonicznej możemy zabrać się za rysowanie wykresu funkcji.

Co musimy wiedzieć ?

Znak współczynnika  a  podobnie jak w postaci ogólnej decyduje o skierowaniu ramion paraboli:
jeżeli a \: < \: 0, to ramiona paraboli skierowane są ku dołowi,
jeżeli a \: > \: 0, to ramiona paraboli skierowane są ku górze.
Natomiast współczynniki  p, q  są współrzędnymi wierzchołka paraboli   W \: = \: (p,\:q). Jednak to jeszcze zbyt mało informacji.
Posłużymy się poniższym twierdzeniem:

TWIERDZENIE:Wykres funkcji f(x) \: = \: a(x\:-\:p)^2 \: + \: q powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji g(x) \: = \: ax^2 o wektor \vec{v} \: = \: [p,\:q].
O czym jest mowa w twierdzeniu ?  Co wnosi nowego w nasz problem ?
Aby narysować wykres funkcji f(x) \: = \: a(x\:-\:p)^2 \: + \: q wystarczy wykreślić funkcję pomocniczą g(x) \: = \: ax^2, której wykres jest łatwiejszy w wykonaniu, a następnie przesunąć go o wektor \vec{v} \: = \: [p,\:q], co jest zadaniem również już dla nas elementarnym.
Dla rozjaśnienia sytuacji przeanalizujmy jeden przykład:
PRZYKŁAD:Narysujmy wykres funkcji  f(x) \: = \: 2(x\:-\:1)^2 \: - \: 3
 
 KROK 1.  Tworzymy funkcję pomocniczą g(x) \: = \: 2x^2
KROK 2.  Rysujemy wykres funkcji g(x)
 
 KROK 3.  Z postaci kanonicznej funkcji f(x) odczytujemy wartości współczynników
p\:=\:1,  q\:=\:-3
tworzymy wektor  \vec{v} \: = \: [1,\:-3] i zgodnie z nim przesuwamy wykres funkcji g(x).
 [Rozmiar: 48895 bajtów]
 Otrzymany wykres jest już końcowym wykresem funkcji f(x) \: = \: 2(x\:-\:1)^2 \: - \: 3.
Sprawdźmy jeszcze dla pewności współrzędne wierzchołka, czy zgadzają się z wartościami współczynników p i q.
Tak wszystko się zgadza!
[Rozmiar: 1519 bajtów]Jeżeli chcesz sam poćwiczyć rysowanie wykresów funkcji kwadratowej i sprawdzić swoje rozwiązanie, koniecznie zobacz:
Przekształcanie wzoru funkcji kwadratowej - zadania.
[Rozmiar: 1519 bajtów]Jeżeli chcesz sprawdzić jak się zamienia postać ogólną funkcji kwadratowej na kanoniczną i odwrotnie, koniecznie zobacz:
Zamiana postaci ogólnej na kanoniczną;
Zamiana postaci kanonicznej na ogólną.
cron