[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/db/mysqli.php on line 43: mysqli_connect() [function.mysqli-connect]: Headers and client library minor version mismatch. Headers:50545 Library:50636
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4284: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4286: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4287: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4288: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
 Działania na zbiorach
Biuro Konstrukcji Elektronicznych






teraz jesteś Wykłady
Zdania, zbiory i przedziały liczbowe
Działania na zbiorach
Działania na zbiorach - wykłady
 
SUMA ZBIORÓW
Sumą zbiorów A,\:B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do co najmniej jednego ze zbiorów
A lub B.
Sumę zbiorów A,\:B oznaczamy: A\cup B
 
Zatem do sumy dwóch zbiorów należą wszystkie elementy obu tych zbiorów. Zobrazujmy sytuację graficznie. W tym celu rozważmy trzy możliwości położenia względem siebie dwóch zbiorów, a wynik działania zakreskujmy:
 
Suma zbiorów rozłącznychSuma zbiorów o niepustej części wspólnejSuma zbiorów, z których jeden zawiera się w drugim
 
Zapis symboliczny:A\cup B = \{\:x: \:\:\: x\in A \:\vee\: x\in B \:\}
lub
\[x\in (A\cup B)\]\Leftrightarrow [(x\in A) \vee (x\in B)]
 
Stosowanie zapisów symbolicznych jest bardzo wygodne, jednak nie dla wszystkich zrozumiałe.
Zapis pierwszy czytamy: Suma zbiorów A,\:Bjest to zbiór elementów x takich, że x należy

do zbioru A lub x należy do zbioru B.

Natomiast równoważny zapis drugi: Element x należy do sumy zbiorów A,\:B wtedy i tylko wtedy, gdy

x należy do zbioru A lub x należy do zbioru B.

 
ILOCZYN ZBIORÓW
Iloczynem zbiorów A,\:B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbiorów A,\:B jednocześnie.
Iloczyn zbiorów A,\:B nazywany często częścią wspólną, oznaczamy: A\cap B.
 
Używając sformułowania potocznego - część wspólna, doskonale rozumiemy pojęcie iloczynu zbiorów. Dla pewności przeanalizujmy poniższe diagramy, na których został zobrazowany iloczyn zbiorów A,\:B w trzech przypadkach wzajemnego położenia względem siebie tych zbiorów. Wynik działania został zakreskowany:
 
Iloczyn zbiorów rozłącznychIloczyn zbiorów o niepustej części wspólnejIloczyn zbiorów, z których jedn zawiera się w drugim
 
Zapis symboliczny:A\cap B = \{\:x: \:\:\: x\in A \:\wedge\: x\in B \:\}
lub
\[x\in (A\cap B)\]\Leftrightarrow [(x\in A) \wedge (x\in B)]
 
Podobnie jak w przypadku sumy zbiorów przećwiczmy rozszyfrowanie zapisu matematycznego.
Zapis pierwszy czytamy: Iloczyn zbiorów A,\:B jest to zbiór elementów x takich, że x należy

do zbioru A i x należy do zbioru B.

Natomiast zapis drugi: Element x należy do iloczynu zbiorów A,\:B wtedy i tylko wtedy, gdy x należy


do zbioru A i x należy do zbioru B.

 
RÓŻNICA ZBIORÓW
Różnicą zbiorów A,\:B nazywamy zbiór tych elementów, które jednocześnie należą do zbioru A i nie należą do zbioru B.
Różnicę zbiorów A i B oznaczamy: A\backslash B (lub A\: - \:B).
 
Jest to działanie, które sprawia najwięcej trudności. Zastanówmy się nad definicją analizując poniższe diagramy, na których w trzech przypadkach wzajemnego położenia zbiorów zakreskowano:

  • w pierwszym wierszu różnicę zbiorów A i B, czyli A\backslash B
  • w drugim wierszu różnicę zbiorów B i A, czyli B\backslash A
 
 
A \backslash B
Różnica zbiorów rozłącznych A i BRóżnica zbiorów A i B o niepustej części wspólnejRóżnica zbiorów A i B, z których jeden zawiera się w drugim
 
B\backslash A
Różnica zbiorów rozłącznych B i ARóżnica zbiorów B i A o niepustej części wspólnejRóżnica zbiorów B i A, z których jeden zawiera się w drugim
 
Zapis symboliczny:A\backslash B\:\:= \{\:x: \:\:\: x\in A \:\wedge\: x\notin\:B \:\}
lub
\[x\in (A\backslash B)\]\Leftrightarrow [(x\in A) \wedge (x\notin\:B)]
 
Odczytajmy zapis symboliczny definicji:
Pierwszy wiersz czytamy: Różnica zbiorów A,\:B jest to zbiór elementów x takich, że x należy do zbioru


A i x nie należy do zbioru B.


Drugi wiersz, który jest równoważny z pierwszym czytamy: Element x należy do różnicy zbiorów A,\:B

wtedy i tylko wtedy, gdy x należy do zbioru A i x nie należy do zbioru B.

 
 
DOPEŁNIENIE ZBIORU
Aby zdefiniować dopełnienie zbioru A, potrzebna jest nam przestrzeń, w której ten zbiór jest określony. Niech \Omega będzie przestrzenią. Wtedy dopełnieniem zbioru A do przestrzeni \Omega nazywamy zbiór \Omega \backslash A.
Dopełnienie zbioru A oznaczamy: A^,
 
 Dopełnienie zbioru A do przestrzeni
Popatrzmy na powyższy rysunek. Zbiór A znajduje się w przestrzeni \Omega (lub jak mówimy częściej - jest w niej określony). Dopełnienie zbioru A jest to ta część przestrzeni, która zostanie po wyrzuceniu zbioru A, czyli po zastosowaniu działania \Omega \backslash A.




Powyższą definicję zapiszmy jeszcze symbolicznie:
 
 
Zapis symboliczny:A^,\:\:= \{\:x: \:\:\: x\in \Omega \:\wedge\: x\notin\:A \:\}
lub
\(x\in A^,\)\Leftrightarrow [(x\in \Omega)\: \wedge \: (x\notin\:A)]
 
Do wyczerpania tematu, przynajmniej na poziomie podstawowym, konieczne jest jeszcze wypisanie własności działań na zbiorach, które wynikają wprost z definicji.
 
WŁASNOŚĆ 1.A \cup A\:=\:A
WŁASNOŚĆ 2.A \cap A\:=\:A
WŁASNOŚĆ 3.A \backslash A\:=\:\emptyset
WŁASNOŚĆ 4.A \cup \emptyset\:=\:A
WŁASNOŚĆ 5.A \cap \emptyset\:=\:\emptyset
WŁASNOŚĆ 6.\emptyset \backslash A\:=\: \emptyset
WŁASNOŚĆ 7.A \backslash \emptyset\:=\:A
WŁASNOŚĆ 8.A \cup A^,\:=\:\Omega
WŁASNOŚĆ 9.A \cap A^,\:=\:\emptyset
WŁASNOŚĆ 10.\Omega \cup A\:=\:\Omega
WŁASNOŚĆ 11.\Omega \cap A\:=\:A
WŁASNOŚĆ 12.\Omega \backslash A\:=\:A^,
 

cron