Biuro Konstrukcji Elektronicznych






teraz jesteś Wykłady
Zdania, zbiory i przedziały liczbowe
Własności działań na zbiorach
A \cup B = B \cup A PRZEMIENNOŚĆ SUMY
DOWÓD:

Na podstawie definicji zbiorów równych, wystarczy udowodnić równoważność:
x \in (A \cup B) \Leftrightarrow x \in (B \cup A)

Weźmy dowolny x:
x \in (A \cup B) \: \Leftrightarrow \: x \in A \: \vee \: x \in B \: \Leftrightarrow \: x \in B \: \vee \: x \in A \: \Leftrightarrow \: x \in (B \cup A)


A \cup B = B \cup A PRZEMIENNOŚĆ ILOCZYNU
DOWÓD:

Na podstawie definicji zbiorów równych, wystarczy udowodnić równoważność:
x \in (A \cap B) \Leftrightarrow x \in (B \cap A)

Weźmy dowolny x:
x \in (A \cap B) \: \Leftrightarrow \: x \in A \: \wedge \: x \in B \: \Leftrightarrow \: x \in B \: \wedge \: x \in A \: \Leftrightarrow \: x \in (B \cap A)


(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) ŁĄCZNOŚĆ SUMY
DOWÓD:

Na podstawie definicji zbiorów równych, wystarczy udowodnić równoważność:
x \in (A \cup B) \cup C \Leftrightarrow x \in A \cup (B \cup C)

Weźmy dowolny x:
x \in (A \cup B) \cup C \: \Leftrightarrow \: x \in (A \cup B) \: \vee \: x \in C \: \Leftrightarrow \: (x \in A \: \vee \: x \in B) \: \vee \: x \in C \: \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow \: x \in A \: \vee \:( x \in B \: \vee \: x \in C) \: \Leftrightarrow \: x \in A \: \vee \: x \in (B \cup C) \: \Leftrightarrow
 \Leftrightarrow \: x \in A \cup (B \cup C)




(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) ŁĄCZNOŚĆ ILOCZYNU
DOWÓD:

Na podstawie definicji zbiorów równych, wystarczy udowodnić równoważność:
x \in (A \cap B) \cap C \Leftrightarrow x \in A \cap (B \cap C)

Weźmy dowolny x:
x \in (A \cap B) \cap C \: \Leftrightarrow \: x \in (A \cap B) \: \wedge \: x \in C \: \Leftrightarrow \: (x \in A \: \wedge \: x \in B) \: \wedge \: x \in C \: \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow \: x \in A \: \wedge \:( x \in B \: \wedge \: x \in C) \: \Leftrightarrow \: x \in A \: \wedge \: x \in (B \cap C) \: \Leftrightarrow
 \Leftrightarrow \: x \in A \cap (B \cap C)




A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) ROZDZIELNOŚĆ SUMY WZGLĘDEM ILOCZYNU
DOWÓD:

Na podstawie definicji zbiorów równych, wystarczy udowodnić równoważność:
x \in A \cup (B \cap C) \Leftrightarrow x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)

Weźmy dowolny x:
x \in A \cup (B \cap C) \: \Leftrightarrow \: x \in A \: \vee \: x \in (B \cap C) \: \Leftrightarrow \: x \in A \: \vee \: ( x \in B \: \wedge \: x \in C) \: \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow \: (x \in A \: \vee \: x \in B) \: \wedge \: (x \in A \: \vee \: x \in C) \: \Leftrightarrow
 \Leftrightarrow \: x \in (A \cup B) \: \wedge \: x \in (A \cup C) \: \Leftrightarrow
 \Leftrightarrow \: x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)




A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) ROZDZIELNOŚĆ ILOCZYNU WZGLĘDEM SUMY
DOWÓD:

Na podstawie definicji zbiorów równych, wystarczy udowodnić równoważność:
x \in A \cap (B \cup C) \Leftrightarrow x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)

Weźmy dowolny x:
x \in A \cap (B \cup C) \: \Leftrightarrow \: x \in A \: \wedge \: x \in (B \cup C) \: \Leftrightarrow \: x \in A \: \wedge \: ( x \in B \: \vee \: x \in C) \: \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow \: (x \in A \: \wedge \: x \in B) \: \vee \: (x \in A \: \wedge \: x \in C) \: \Leftrightarrow
 \Leftrightarrow \: x \in (A \cap B) \: \vee \: x \in (A \cap C) \: \Leftrightarrow
 \Leftrightarrow \: x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)




(A \cup B)^' = A^' \cap B^' PRAWO De Morgana: DOPEŁNIENIE SUMY
DOWÓD:

Na podstawie definicji zbiorów równych, wystarczy udowodnić równoważność:
x \in (A \cup B)^' \Leftrightarrow x \in A^' \cap B^'

Weźmy dowolny x:
x \in (A \cup B)^' \: \Leftrightarrow \: x \not\in (A \cup B) \: \Leftrightarrow \: \sim (x \in (A \cup B)) \: \Leftrightarrow \: \sim (x \in A \: \vee \: x \in B) \: \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow \: \sim (x \in A) \: \wedge \: \sim (x \in B) \: \Leftrightarrow \: x \not\in A \: \wedge \: x \not\in B \: \Leftrightarrow \: x \in A^' \: \wedge \: x \in B^' \: \Leftrightarrow
 \Leftrightarrow \: x \in (A^' \cap B^')




(A \cap B)^' = A^' \cup B^' PRAWO De Morgana: DOPEŁNIENIE ILOCZYNU
DOWÓD:

Na podstawie definicji zbiorów równych, wystarczy udowodnić równoważność:
x \in (A \cap B)^' \Leftrightarrow x \in A^' \cup B^'

Weźmy dowolny x:
x \in (A \cap B)^' \: \Leftrightarrow \: x \not\in (A \cap B) \: \Leftrightarrow \: \sim (x \in (A \cap B)) \: \Leftrightarrow \: \sim (x \in A \: \wedge \: x \in B) \: \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow \: \sim (x \in A) \: \vee \: \sim (x \in B) \: \Leftrightarrow \: x \not\in A \: \vee \: x \not\in B \: \Leftrightarrow \: x \in A^' \: \vee \: x \in B^' \: \Leftrightarrow
 \Leftrightarrow \: x \in (A^' \cup B^')