[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/db/mysqli.php on line 43: mysqli_connect() [function.mysqli-connect]: Headers and client library minor version mismatch. Headers:50545 Library:50636
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4284: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4286: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4287: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4288: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
 Wzory Viète
Biuro Konstrukcji Elektronicznych






teraz jesteś Wykłady
Funkcja kwadratowa
Wzory Viète
[Rozmiar: 7812 bajtów]
[Rozmiar: 171908 bajtów]François Viète (1540 - 1603) z wykształcenia co prawda był prawnikiem, jednak sławę zyskał dzięki osiągnięciom z matematyki, chociaż w tej dziedzinie był samoukiem. Jako pierwszy, w równaniach, wprowadził literowe oznaczenie nie tylko dla wielkości niewiadomych, ale i dla wielkości danych (współczynników), co pozwoliło mu zapisywać własności równań i ich pierwiastków ogólnymi wzorami. Zajmował się również trygonometrią, geometrią i astronomią, a także zagadnieniami związanymi z szyfrowaniem tekstów. Podczas wojny domowej rozszyfrował tajną korespondencję wrogów królewskich. Hiszpanie zwrócili się wtedy do papieża ze skargą, że Francuzi posługują się czarną magią.
TWIERDZENIE (WZORY Viète'a dla równań drugiego stopnia)

Jeżeli równanie kwadratowe  ax^2\:+\:bx\:+\:c\:=\:0  ma dwa pierwiastki   x_1, \: x_2 , to:

{\color{red} x_1\:+\:x_2\:=\:-\frac{b}{a}}   oraz   {\color{red} x_1\cdot x_2\:=\:\frac{c}{a}}
 
Sprawdźmy.
Wiemy, że jeżeli równanie kwadratowe  ax^2\:+\:bx\:+\:c\:=\:0  ma dwa rozwiązania, to


x_1\:=\: \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a},\:\:\: x_2\:=\: \frac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}


Spróbujmy wyznaczyć wzory na sumę oraz na iloczyn tych pierwiastków:
x_1\:+\:x_2\:=\:\frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a}\:+\:\frac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}\:=\:\frac{-b- \sqrt{\Delta}-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}\:=\:\frac{-2b}{2a}\:=\:-\frac{b}{a}

 
x_1\cdot x_2\: = \:\frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a}\cdot \frac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}\:=\:\frac{(-b- \sqrt{\Delta})(-b+ \sqrt{\Delta})}{4a^2}\:=\:\frac{b^2- (\sqrt{\Delta})^2}{4a^2}\:=\:\frac{b^2- \Delta}{4a^2}\:=\:\frac{b^2- (b^2-4ac)}{4a^2}\:= \\\ \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: = \:\frac{b^2- b^2+4ac}{4a^2}\:=\:\frac{4ac}{4a^2}\:=\:\frac{c}{a}
CND (tzn. Co Należało Dowieść)

 
Oczywiście w przypadku gdy  \Delta \:=\:0 
i równanie kwadratowe  ax^2\:+\:bx\:+\:c\:=\:0  ma jedno rozwiązanie,
to wzory Viète'a przyjmują postać:

2x_0\:=\:-\frac{b}{a}   oraz   x_0^2\:=\:\frac{c}{a}


PAMIĘTAJ!   Wzory Viète'a możemy stosować tylko wtedy, gdy równanie ma

pierwiastki, tzn.  {\color{red} \Delta\:\geq\:0}.

[Rozmiar: 161758 bajtów]

 
Do czego właściwie służą te wzory Viète'a ?
Wykorzystań jest wiele. W szkole średniej stosujemy je przy badaniu znaków pierwiastków równania kwadratowego, do obliczania w pamięci tych pierwiastków oraz do wyznaczania wartości niektórych wyrażeń, które zawierają pierwiastki.

Na zakończenie naszych rozważań przyjrzyjmy się jeszcze informacją zawartym w dwóch tabelkach. Na pierwszy rzut oka wydające się oderwane od tematu, jednak bardzo przydatne w zadaniach.
Pierwsza opisuje zależności znaków pierwiastków równania kwadratowego od znaków ich sumy i iloczynu.
 
TABELA 1.
(1)    Liczby  x_1, \: x_2  są dodatnie    \Leftrightarrow\:\: \left\{\begin{array}{rcl} x_1 \cdot x_2 \:&>& \: 0 \\\ x_1\:+\:x_2\: &>&\:0 \end{array}\right.

(2)    Liczby  x_1, \: x_2  są ujemne    \Leftrightarrow\:\: \left\{\begin{array}{rcl} x_1 \cdot x_2 \:&>& \: 0 \\\ x_1\:+\:x_2 &<&0 \end{array}\right.

(3)    Liczby  x_1, \: x_2  mają różne znaki    \Leftrightarrow\:\: x_1 \cdot x_2\: <\: 0
Jesteś ciekawy dlaczego ? Wystarczy chwila zastanowienia i analizy danych równoważności.

 
Druga tabelka zawiera przekształcenia niektórych wyrażeń (bardzo często występujących w zadaniach), aby doprowadzić je do postaci umożliwiającej wykorzystanie wzorów Viète'a.
TABELA 2.
(4)    \:\:\:\:\: (x_1\:-\:x_2)^2\:=\:(x_1\:+ \:x_2)^2\:-\:4x_1 \cdot x_2

(5)    \:\:\:\:\: \frac{1}{x_1}\:+\: \frac{1}{x_2}\:=\: \frac{x_1+x_2}{x_1 \cdot x_2}

(6)    \:\:\:\:\: x_1^2\:+\:x_2^2\:=\:(x_1\:+\:x_2)^2\:-\:2x_1 \cdot x_2

(7)    \:\:\:\:\: \frac{1}{x_1^2}\:+\: \frac{1}{x_2^2}\:=\: \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2 \cdot x_2^2}\:=\: \frac{(x_1\:+\:x_2)^2\:-\:2x_1 \cdot x_2}{(x_1 \cdot x_2)^2}
Wyjaśnienie wzorów: tutaj.
 
Podstawy mamy za sobą, a teraz najważniejsze: wykorzystać w praktyce zdobytą wiedzę.
Zobacz koniecznie:
[Rozmiar: 25114 bajtów]Wzory Viète'a dla równań wyższych stopni.
[Rozmiar: 25114 bajtów]Wzory Viète'a - ZADANIA.
cron